Estoy tratando de calcular la distribución de momentos de un sistema 1D de fermiones idénticos que no interactúan en una trampa armónica.
Dada la respuesta de Feynman (de su libro de Mecánica Estadística) para la matriz de densidad de posición de una sola partícula atrapada en $T>0$ , $ \rho_1 (x, x'; \beta) = \sqrt{\cfrac{m \omega}{2 \pi \hbar \sinh (\beta \hbar \omega) }} \exp \left\{ \cfrac{-m \omega}{ 2 \hbar \sinh (\beta \hbar \omega) } \left[ (x^2 + x' ^2) \cosh (\beta \hbar \omega) - 2x x' \right] \right\} $ ,
la distribución traslacional invariante de $ (x'-x) $ es $ \tilde{\rho} (s; \beta) = \int_{-\infty} ^\infty \mathrm{d}x \mathrm{d}x' \delta (s - (x' - x) ) \rho_1 (x, x'; \beta) = \cfrac{\mathrm{e}^{\frac{-m \omega s^2}{4\hbar} \coth \frac{\beta \hbar \omega}{2}}}{2 \sinh \frac{\beta \hbar \omega}{2}} $ .
En este caso, definimos $\beta\equiv 1/(k_\text{B}T)$ . La transformada de Fourier de $\tilde{\rho} (s ; \beta)$ es la distribución del momento del sistema, que también es una gaussiana.
¿Cómo construirías una versión de dos fermiones a partir de esto? ¿Y los 3 fermiones?
Mi primer intento fue $ \tilde{\rho}_{2\text{F}} (s;\beta) = \frac{1}{2!} \left( 2 \tilde{\rho} (s; \beta) \tilde{\rho} (0; \beta) - 2 \tilde{\rho} (s; 2\beta) \right) $
utilizando los diagramas de Feynman, teniendo en cuenta la antiperiodicidad $\rho_1 (x, x'; \beta + \beta) = -\rho_1 (x, x'; \beta)$ para los fermiones.
Visualización de la trayectoria a lo largo del tiempo imaginario en un hipercilindro de circunferencia $\beta$ sería algo así como
Nótese aquí que los diagramas con trayectorias de fermiones que se cruzan entre sí tienen un peso estadístico nulo.
He escrito la exposición completa de mi problema en http://mathb.in/1393 . Al parecer, mi respuesta no concuerda con otros dos cálculos numéricos... quizás falta un factor de normalización en uno de los términos.
Se agradece cualquier comentario.