pocos fermiones en una trampa armónica - matriz de densidad de posición a partir de diagramas

Question

Estoy tratando de calcular la distribución de momentos de un sistema 1D de fermiones idénticos que no interactúan en una trampa armónica.

Dada la respuesta de Feynman (de su libro de Mecánica Estadística) para la matriz de densidad de posición de una sola partícula atrapada en $T>0$ , $ \rho_1 (x, x'; \beta) = \sqrt{\cfrac{m \omega}{2 \pi \hbar \sinh (\beta \hbar \omega) }} \exp \left\{ \cfrac{-m \omega}{ 2 \hbar \sinh (\beta \hbar \omega) } \left[ (x^2 + x' ^2) \cosh (\beta \hbar \omega) - 2x x' \right] \right\} $ ,

la distribución traslacional invariante de $ (x'-x) $ es $ \tilde{\rho} (s; \beta) = \int_{-\infty} ^\infty \mathrm{d}x \mathrm{d}x' \delta (s - (x' - x) ) \rho_1 (x, x'; \beta) = \cfrac{\mathrm{e}^{\frac{-m \omega s^2}{4\hbar} \coth \frac{\beta \hbar \omega}{2}}}{2 \sinh \frac{\beta \hbar \omega}{2}} $ .

En este caso, definimos $\beta\equiv 1/(k_\text{B}T)$ . La transformada de Fourier de $\tilde{\rho} (s ; \beta)$ es la distribución del momento del sistema, que también es una gaussiana.

¿Cómo construirías una versión de dos fermiones a partir de esto? ¿Y los 3 fermiones?

Mi primer intento fue $ \tilde{\rho}_{2\text{F}} (s;\beta) = \frac{1}{2!} \left( 2 \tilde{\rho} (s; \beta) \tilde{\rho} (0; \beta) - 2 \tilde{\rho} (s; 2\beta) \right) $

utilizando los diagramas de Feynman, teniendo en cuenta la antiperiodicidad $\rho_1 (x, x'; \beta + \beta) = -\rho_1 (x, x'; \beta)$ para los fermiones.

Visualización de la trayectoria a lo largo del tiempo imaginario en un hipercilindro de circunferencia $\beta$ sería algo así como

Nótese aquí que los diagramas con trayectorias de fermiones que se cruzan entre sí tienen un peso estadístico nulo.

He escrito la exposición completa de mi problema en http://mathb.in/1393 . Al parecer, mi respuesta no concuerda con otros dos cálculos numéricos... quizás falta un factor de normalización en uno de los términos.

Se agradece cualquier comentario.

Answer 1

Observación: Esta respuesta incluirá una expansión en serie del resultado con la descripción de un método para su suma en una forma cerrada (sin hacer el cálculo completo).

La función de densidad de posición, más conocida como "núcleo de calor" puede construirse a partir de la representación de posición de las eigenfunciones de energía eigenfunciones como sigue:

$\rho(x, x^{\prime}, \beta) = \sum_n \Psi_n(x) \overline{\Psi_n(x^{\prime})} e^{-\beta E_n}$

Para el oscilador armónico simple

$\Psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n\sqrt{\pi} n!}}e^{-\frac{x^2}{2}}H_n(x)$ , y $H_n(x)$ son los polinomios de Hermite y $E_n = \hbar \omega (n+\frac{1}{2})$ .

La suma en una forma cerrada puede realizarse (por ejemplo) utilizando la función generadora:

$H_n(x) = \frac{n!}{2\pi i}\oint \frac{e^{(2tx-t^2)}}{t^{n+1}} dt$

Ahora, en el caso de dos osciladores fermiónicos idénticos, las funciones de onda vienen dadas por:

$\Psi_{m,n}(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\Psi_m(x_1) \Psi_n(x_2) -\Psi_m(x_2) \Psi_n(x_1))$ correspondientes a las energías

$E_{m,n} = \hbar \omega (m+n+1)$

Que dan el núcleo de calor de los dos osciladores fermiónicos idénticos al insertarlos en la expansión del núcleo de calor. Aquí también se pueden sumar las series utilizando las funciones generadoras aunque con más trabajo.