Permutaciones que conservan a todas las relaciones algebraicas entre las raíces de un polinomio

Question

Al intentar responder a la pregunta de si una ecuación se puede resolver con los radicales, históricamente las personas han prestado mucha atención a las permutaciones que preservar todas las relaciones algebraicas entre las raíces del polinomio.

La idea finalmente condujo a la solución del problema por Galois, pero la idea de ver tales permutaciones pre-fechas de él.

Es allí cualquier agradable sencilla explicación de por qué tales permutaciones están relacionados con resolver-capacidad de ecuaciones polinómicas con los radicales? (Una explicación que no implican directamente el grupo de Galois).

Answer 1

La resolución de polinomios se trata de romper la simetría. Con el fin de describir las soluciones a $x^2 - 2 = 0$, tenemos que romper la simetría entre el$\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$, por ejemplo mediante la introducción de la noción de positividad y de decir que una de las causas es positiva y la otra raíz es negativo. Con el fin de describir las soluciones a $x^2 + 1 = 0$, tenemos que romper la simetría entre el $i$ $-i$ introduciendo, por ejemplo, el plano complejo, y la noción de rotación en sentido antihorario.

Si el trabajo de la resolución de polinomios consiste en la ruptura de simetrías, entonces esto sugiere que la simetría que hay que romper, el más duro es el polinomio de resolver. Por ejemplo, un polinomio que los factores en factores lineales sobre $\mathbb{Q}$ no tiene simetrías. Un polinomio que los factores en cuadrática factores ha simetrías que implican el intercambio de las raíces de cada ecuación cuadrática. Y así sucesivamente.