Expectativa condicional, actuando en la Plaza de una variable aleatoria

Question

Supongamos que $X$ $Y$ son variables aleatorias tales que $E(Y¦X) =X$$E(Y^2¦X)=X^2$; también, $Y$$L^2(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Necesito mostrar que $Y=X$ casi seguramente.

Sé que la definición de esperanza condicional como una proyección, I. E. $E(X¦Y) =W$ es la única $W$ $L^2(\Omega,\sigma(X),\mathbb{P})$ satisfacción $E(WZ) =E(YZ) $ todos los $Z$ en ese mismo $L^2$.

Mi intuición es que obtenemos el resultado mediante la aplicación de esta definición y tomar decisiones apropiadas para $Z$. Yo lo he probado, pero me atoré.

Me preocupa también el hecho de que no sé de donde la $L^2$ debe venir en. ¿Por qué no $L^3$ o $L^1$, en su lugar? Qué tiene que ver esto con él?

Answer 1

La razón para elegir $L^2$ $L^1$ $L^3$ es su estructura de espacio de Hilbert. También, $E[YZ]$ no necesariamente serían definida si asumimos simplemente $Z\in L^1$ (la desigualdad de Cauchy-Schwarz se usa para probar Well-definedness cuando ambos están en $L^2$).

Como por tu pregunta, se puede obtener la torre regla $$ E\left((Y-X)^2\right) =E\left(Y^2-2XY+X^2\right) = E\left (E(Y^2\mid X)-2XE(Y\mid X) + X ^ 2\right) = 0, $$ así que $(Y-X)^2=0$ $\mathbb P$-casi con toda seguridad.