Reconocer si una serie de energía es una $q$-expansión de una forma modular

Question

De poder de la serie en $q$, es posible decir si es la $q$-la expansión de una forma modular (de nivel $N$ dicen)?

No me necesita para mostrar los resultados de este tipo, pero se ha llegado bastante que tengo curiosidad por cómo uno podría acercarse a él. Como por ejemplo que tengo en mente:

Después de jugar con SAGE, en el nivel 2, la forma modular $\Delta$ factores $\delta\gamma^2$ donde $\delta$ $\gamma$ son las formas modulares de nivel 2 (este creo que puedo comprobar).

Sin embargo, también parece que $\delta$ $\gamma$ tiene el siguiente $q$-expansiones: \begin{align*} \delta &= q\prod_{n\geq 1}{(1+a(n)q^{n})^{8}}, \end{align*} donde \begin{align*} a(n) = \begin{cases} 1 &\mbox{if } n \equiv 1\pmod{2} \\ 0 & \mbox{if } n \equiv 2\pmod{4}\\ -1 & \mbox{if } n\equiv 0\pmod{4} \end{casos} \end{align*} y \begin{align*} \gamma &= \prod_{n\geq 1}{(1-q^n)^{16b(n)}}, \end{align*} donde \begin{align*} b(n) = \begin{cases} 1 &\mbox{if } n \equiv 1\pmod{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } n \equiv 0\pmod{2}.\end{casos} \end{align*} Por último, si se conecta el producto expansiones $\delta$, $\gamma$ en $\Delta = \delta\gamma^2$ y reorganizar los términos, se obtiene el producto de expansión para $\Delta$.

Ahora, si supiéramos que el producto fórmulas eran en realidad las formas modulares, a continuación, el resto antes de seguir. Sin embargo, ¿cómo puede uno demostrar que un poder de la serie es de una forma modular?

(La única cosa que yo sé acerca de esto es que en Koblitz del libro, que se deriva de la fórmula del producto de la transformación de la ley para la función de eta, que venía de la ley correspondiente para $E_2$. También sé de google de la frase "Bocherds productos", pero a primera vista no parecen ser exactamente lo que estoy buscando, aunque probablemente muy interesante.

También espero que yo no soy la publicación demasiadas preguntas en este foro acerca de los mismos temas, pero es mucho más útil para mí para preguntar acerca de algo, entonces para que seguir tratando de imaginar lo que podría ser la respuesta.)

Answer 1

Esto ciertamente no es una respuesta completa, pero me gustaría señalar que el reconocimiento de si una determinada potencia de la serie es el $q$-la expansión de una forma modular tiende a ser extremadamente difícil. Por ejemplo, si $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb Q$, uno define el $L$-función de $E$ por $$ L(E,s) =\prod_p \frac{1}{\det(1-\rho_{E,\ell}(\operatorname{Frob}_p)p^{-s},(T_\ell E)^{I_p})} $$ donde $\rho_{E,\ell}:G_{\mathbb Q}\to GL(2,\mathbb Z_\ell)$ viene de la Tate módulo de $E$ $I_p\subset G_{\mathbb Q}$ es la inercia del grupo de $p$.

Usted puede expandir $L(E,s)$ $$ L(E,s) = \sum_{n\geqslant 1} \frac{a_n}{n^s} $$ Una pregunta natural es: es el $q$-expansión $$ \sum_{n\geqslant 1} a_n q^n $$ una forma modular? La respuesta es sí, precisamente cuando $E$ es modular. Así, en este ejemplo, demostrando que una cierta clase de $q$-expansiones se compone de formas modulares es equivalente a probar que el Taniyama-Shimura conjetura, que era enormemente difícil.