Lógica sentencial

Question

A continuación figura una pregunta extraída del libro Cómo demostrarlo escrito por Daniel J. Velleman.

Sea $P$ para la afirmación "compraré los pantalones" y $S$ por la afirmación "compraré la camiseta". ¿Qué frases en inglés están representadas por las siguientes expresiones?

$\lnot(P \land \lnot S)$

La respuesta dada es: "No compraré los pantalones sin la camisa". No entiendo la respuesta. ¿Puede alguien explicarla? ¿O tal vez la respuesta es incorrecta?

Answer 1

Trabajemos de dentro hacia fuera:

• $S$ significa: "Compraré la camisa".
• $\neg S$ significa: "I no comprar la camiseta".
• $P \land \neg S$ significa: "Compraré los pantalones y No compraré la camiseta". Otra forma de decir esto es: "Compraré los pantalones pero no la camisa". (o, lo que es lo mismo, "Compraré los pantalones sin la camisa").
• $\neg(P \land \neg S)$ significa: "I no comprar los pantalones sin la camisa".

Debido a la ambigüedad de la lengua inglesa, seguramente habrá múltiples "traducciones" y ninguna "respuesta" única. Más adelante, es posible que lo aprendas: $$ \neg(P \land \neg S) \quad \equiv \quad \neg P \lor S \quad \equiv \quad P \rightarrow S $$ Así, una traducción válida (quizás más intuitiva) de $\neg(P \land \neg S)$ sería: " Si Compro los pantalones, entonces También debo comprar la camisa".

Answer 2

Recuerde que, al Leyes de DeMorgan , $$\lnot (A\land B)\iff(\lnot A\lor\lnot B),$$ así que $$\lnot (P\land \lnot S)\iff \lnot P\lor(\lnot\lnot S)\iff\lnot P\lor S.$$ Nuestro objetivo es describir lo que significa para $\lnot (P\land \lnot S)$ ser verdad. Entonces, convengamos en que es verdad, y veamos qué concluimos.

Si no compras los pantalones, entonces $\lnot P$ es verdadera, y por lo tanto también lo es $\lnot P\lor S$ independientemente de lo que $S$ es. Sin embargo, si usted compra los pantalones, entonces $\lnot P$ es falso, y en este caso, la única manera $\lnot P \lor S$ puede ser cierto es si $S$ es cierto, es decir, si usted compra la camisa.

Por lo tanto, decir que $\lnot (P\land \lnot S)$ es cierto es decir que quizá no compres los pantalones, quizá sí; pero si lo haces, seguro que también comprarás la camisa.