Muchas declaraciones de las matemáticas se expresan de manera más natural en términos de multisets. Por ejemplo:
Cada entero positivo puede ser únicamente se expresa como el producto de un conjunto múltiple de los números primos.
Pero este teorema es generalmente enunciado más torpemente, sin multisets:
Cualquier número entero mayor que 1 se puede escribir como un producto único (hasta el orden de los factores) de los números primos.1
Aparte de reordenamiento de factores, $n$ se puede expresar como un producto de números primos de una manera única.2
Cada número entero mayor que 1 se puede expresar como un producto de números primos en una forma que es única hasta el fin.3
Muchos similares de la factorización de teoremas son, evidentemente, se expresa en términos de multisets; intente una búsqueda de la frase "hasta reordenamiento" o "prescindiendo de la orden". Otros ejemplos: una monic polinomio está determinada únicamente por su conjunto múltiple de las raíces, no por el conjunto de sus raíces. Los autovalores de una matriz es un conjunto múltiple, no un conjunto.
Dos tipos que son comunes en las matemáticas son el conjunto y la secuencia. La secuencia tiene tanto el orden y la multiplicidad. El conjunto desprecia tanto. El conjunto múltiple tiene multiplicidad sin fin, pero es raro en la literatura matemática.
Cuando manejamos un conjunto múltiple, generalmente interpretándolo como una función en $\Bbb N$. This leads to somewhat strange results. For example, suppose $M$ is the multiset of the prime factors of some integer $n$. Nos gustaría escribir:
$$n = \prod_{p\in M} p$$
o tal vez solo:
$$n = \prod M$$
Pero si tomamos la ruta habitual y embed multisets en los tipos convencionales como una función de $M:\mathrm{Primes}\to\Bbb N$, entonces tenemos que escribir la instrucción con un infinito de productos y mucho más la notación:
$$n = \prod_{p\in\mathrm{ Primes}}p^{M(p)} $$
(Para la comparación, imaginar lo molesto que sería si los juegos eran siempre entendida como característica de las funciones con codominio $\{0, 1\}$, and if we had to write $\sum_{x\in S}{F(x)}$ all the time instead of just $|F|$.)
La interpretación de multisets como funciones es desafortunado en otras maneras también. Excepto en los básicos de la teoría de conjuntos, se suele dar por sentado que la diferencia entre un número finito y un conjunto infinito es obvio. Pero para multisets como funciones, tenemos que decir algo como:
Un conjunto múltiple $M$ is finite if $M(x)=0$ for all but finitely many values of $x$.
La otra manera en que multisets a veces son manejados en pruebas matemáticas es como (nonstrict) monótona de las secuencias. Uno ve a menudo pruebas de que comience "Vamos a $a_1\le a_2\le\ldots\le a_n$; then…". The intent here is that the $a_i$ are a multiset, and if $b_i$ are a similar sequence of the same length, then the multisets are equal if and only if $a_i = b_i$ for each $i$. Without the monotonicity, we don't get this equality property. With first-class multisets, we would just say $A=B$ y evitar una gran cantidad de verborrea.
Conjuntos y secuencias de ambos tiene un complemento completo de notación estándar y la jerga. Multisets no. No hay ninguna notación estándar para la unión o la intersección de multisets. Parte del problema aquí es que hay dos razonable definiciones de conjunto múltiple de la unión:
$$(M\uplus N)(x) = M(x) + N(x)$$ o $$(M\Cup N)(x) = \max(M(x), N(x))$$
Por ejemplo, si $M$ and $N$ are the prime factorizations of $m$ and $n$, then $M\uplus N$ is the prime factorization of $mn$, and $M\Cup N$ is the prime factorization of $\mathrm{lcm}(m,n)$.
Del mismo modo que no existe un estándar de notación de conjunto múltiple de contención, para el vacío conjunto múltiple, para el natural de inyección de conjuntos de multisets, o para los desmemoriados asignación de multisets a los conjuntos. Si no se notación estándar para multisets, podríamos estado potencialmente útil teoremas como este:
$$ m|n \quad\mbox{if and only if}\quad \mathrm{factors}(m) \prec \mathrm{factors}(n)$$
Aquí $\mathrm{factors}(m)$ means the multiset of prime factors of $m$, and $\prec$ means multiset containment. The analogous statement with sets, that $m|n$ if and only if factors$(m)\subset$ factors$(n)$, es completamente falso.
A mí me parece que multisets son una extraña pieza que falta en matemáticas jerga. Claramente, nos llevamos todos bien sin ellos, pero parece que un montón de circunloquios se evitarían si se utilizó multisets más libremente cuando corresponda. Es sólo un accidente histórico que multisets son ciudadanos de segunda clase de la matemática del universo?
