¿Hay algún patrón general para las raíces de cada uno de los clásicos de álgebras de lie? Así, puedo decir a todas las raíces de cada una de las $nth$ clasificación clásica de álgebras de lie $A_n, B_n, C_n, D_n$, como una combinación lineal de la simple raíces. Así que estoy buscando un patrón para las raíces en cada nivel dado un clásico de la mentira de álgebra. Así que, si me dan a $C_6$ por ejemplo, ¿hay alguna fórmula general para las raíces a decir el $kth$ nivel en términos de $k$, por ejemplo, $f(k,n)a_1+g(k,n)a_2+...$ son las raíces, donde $a_1,a_2,...$ son simple raíces.
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Un resumen:
Para cualquier raíz de $\alpha$, el conjunto de los vectores de la base $\alpha_i$ ocurren en la expansión de $\alpha$ (es decir, aquellas con no-cero de los coeficientes) deben formar un conjunto de nodos conectados en el diagrama de Dynkin. Para los tipos de $A,B,C,D$ 0, 1 y 2 se producen como coeficientes. El coeficiente 2 está prohibida en el tipo de $A$.
Para el tipo de $A_n$ de las secuencias de los coeficientes son de la forma $0^a1^{1+b}0^c$. Aquí $0^a$ denota una cadena (posiblemente vacía) de $a$ ceros, y $1^b$ una cadena de $b$. Obviamente $a,b,c$ son todos los enteros no negativos sujetos a la restricción $a+b+c=n-1$.
Para el tipo de $B_n$, además de las secuencias que se produjo en el tipo de $A_n$, también las secuencias de la forma $0^a1^{1+b}2^{1+c}$ $a+b+c=n-2$ están bien. Observar que no tiene que ser de al menos un 1 entre los ceros y el 2s. El 2s están en la final de the lone corto básicos de la raíz (verificación de su origen: posiblemente algunos pueden tener a corto básicos de la raíz en el otro extremo).
Para el tipo de $C_n$, además de las secuencias que se produjo en el tipo de $A_n$, las secuencias de la forma $0^a1^b2^{1+c}1$ están bien. De nuevo $a+b+c=n-2$. La cadena de 2s por lo tanto no se incluyen, pero está conectado, el solitario de largo (rem. este fue erróneamente escrito como "corto" en la versión anterior) básica de la raíz.
Para el tipo de $D_n$, cualquier combinación de 0 y 1 tales que el 1s forma un conjunto conectado en el diagrama de Dynkin está bien. Además, las secuencias de la forma $0^a1^{1+b}2^c\vphantom{(}^{\displaystyle{1}}_{\displaystyle{1}}$ $a+b+c=n-3$ están bien. IOW la cadena de 2s debe terminar en el vértice, conectado a los otros tres vértices, y también debe tener un "buffer" de al menos un 1 en cada una de las tres direcciones que separa el 2s de 0s.
Eric Goodwin
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Voy a describir en el siguiente procedimiento para la construcción de todas las raíces de una simple Mentira álgebra. Este procedimiento se basa en Slansky del artículo de revisión. Es diferente del método descrito en la página de la Wikipedia.
Creo que necesita como poco como sea posible de la entrada de datos.
En realidad, los únicos insumos que usted necesita es el diagrama de Dynkin (Dada en la tabla 5 de Slansky), el mayor peso de la adjoint representación (en la tabla 8) y un par de reglas que se describen en la secuela de construcción.
- La construcción de la matriz de Cartan del diagrama de Dynkin.Los elementos de la matriz de cartan son el producto escalar de las raíces dividido por la segunda raíz cuadrado de la longitud.
1.1. Desconectado raíces son ortogonales, el ángulo comprendido entre dos raíces conectados por una línea es de 120 grados, 2 líneas de 135 grados y tres líneas de 150 grados.
1.2. Sólo la longitud relativa de la materia, es convencional para tomar el cuadrado de la longitud de la corta raíces (vacío puntos) como 1 y el largo de las raíces (total de puntos) como 2, excepto para $G_2$ que es tomado como 3.
1.3 Ahora que usted ha construido la matriz de Cartan, usted puede leer las raíces primitivas, que son dados por las filas de la matriz de cartan.
Observaciones: Estos son la raíz primitiva de los componentes en la base de peso en la que el primitivo pesos sólo se tienen el uno nonvanishing unidad de componente).Uno debe recuerde que el peso, el espacio no es Eucledian. Tiene una métrica que debe ser utilizado en productos escalares. El tensor métrico puede ser construido a partir de la inversa de la matriz de Cartan de acuerdo con la ecuación 4.11 en Slansky.
- Ahora que usted tiene las raíces primitivas, un método para la construcción de todo el sistema de raíces es encontrar los pesos de los adjuntos de la representación. Para este propósito, se puede construir el peso diagrama de partida de la mayor importancia que se da en la tabla 8 de Slansky utilizando el método descrito en la página 31, 32, el positivo raíces son sólo los positivos pesos de los adjuntos de la representación.
2.1. El mayor peso se extrae de la tabla 8.
2.2. Desde el mayor peso, y de cualquier peso intermedio de la n-ésima raíz primitiva se resta un número de veces igual a la n-ésima componente del peso si es positivo y no resta es cero o negativo.
Por ejemplo, en $A_3$ las raíces $\alpha_1 = (2, -1, 0)$ $\alpha_3 = (0, -1, 2)$ se resta cada vez de mayor peso $(1, 0, 1)$ con el fin de obtener el segundo nivel pesos: $(-1 , 1, 1)$$(1, 1, -1)$.
Observación: Este método permite construir el peso diagrama, pero no para conocer el peso de la multiplicidad, pero en nuestro caso de la adjoint representación, sabemos que la multiplicidad de todos los pesos es debido a que son raíces, excepto para el peso cero cuya multiplicidad es igual al rango de la Mentira de álgebra.
Luboš Motl
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Sí, usted puede encontrar todas las raíces de una Mentira álgebra como el entero de las combinaciones lineales de simple raíces. Eso es debido a que los generadores correspondientes a simple raíces son suficientes para generar todo el grupo a través de los conmutadores y sus conmutadores, etc. y la raíz asociada con un colector $[u,v]$ es simplemente la suma de las raíces correspondientes a los generadores $u,v$ a sí mismos.
De hecho, con las definiciones usuales de simple raíces positivas de las raíces que no puede ser escrito como la suma de los otros–, se puede restringir el análisis a entero no negativo, las combinaciones lineales de las simples raíces cuando se reconstruye todo el sistema radicular.
Simplemente atada álgebras de $A_k$, $D_k$, $E_k$, todos los (distinto de cero) las raíces son igual de largo. Así que, dado que la métrica en la Cartan subalgebra, el (distinto de cero) las raíces son simplemente todo el entero de las combinaciones lineales de los simples raíces que tienen la misma longitud que la de la simple raíces (que son igual de largo, demasiado). Las álgebras de $B_k$, $C_k$, $F_4$, y $G_2$ no son simplemente atada por lo que uno debe incluir también las raíces que se $\sqrt{2}$ veces más que una simple raíz (o $\sqrt{3}$ veces más en el $G_2$ de los casos).
No hay que olvidar que $k$ (el rango) de los generadores de una Mentira álgebra corresponden a las raíces igual a cero – que son los que normalmente no se cuentan entre las raíces en todo y que son sin duda no se considera simple raíces.
