Probablemente este no sea muy ético pregunta pero necesito tener una rápida introducción a una serie de conceptos acerca de la teoría de la representación de la $SO(n)$ y yo estaría feliz de ver algunas de las referencias en línea que me ayude a hacer este viaje.
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Yo estoy enumerando a continuación los conceptos específicos acerca de lo que necesito saber más.
Quiero saber sobre el concepto de "menor pesos" y "más alto de pesos" y cómo una cadena de $ [ \frac{n}{2}]$ números (enteros?) decir $(h_i, i = 1,2,..,[ \frac{n}{2}])$ etiqueta de una representación de $SO(n)$.
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Quiero saber lo que es un "cuadrática Casimir" de este tipo de representación (vagamente entiendo que es el autovalor de un operador que conmuta con todas las de la base de que el grupo de la Mentira del álgebra). Para este tipo de representación como por encima de la cuadrática Casimir es $$c_2(\{h_i\}) = \sum _{i=1} ^{ i= [ \frac{n}{2}]} \left(h_i ^2 + (n-2i)h_i\right)$$
que va a ayudar a ver que la cuadrática Casimir para "escalar representación" es $0$, para una "representación vectorial" es $n-1$ y por un "spinor representación" es $\frac{n(n-1)}{8}$
Espero saber cómo convertir la anterior en las comillas estándar de la física de la terminología en el lenguaje de pesos.
- Si $\{ H_i\}$ formar un conjunto de Cartan de los generadores del grupo $SO(2n+1)$, a continuación, en la "representación vectorial" el carácter del elemento marcados por el real en los números de decir $\{t_i\}$$1+\sum _{i=1} ^n 2\cosh(t_i)$, y para la "spinor representación" es dado por $1+\prod _{i=1} ^n 2\cosh(t_i)$ y en general se da como,
$$\chi (h_i,t_i) = \frac{\det \left(\sinh [ t_i(h_j +(n-j) +\frac{1}{2} ]\right) }{\det \left(\sinh [t_i((n-j) +\frac{1}{2}\right) } $$
La ecuación anterior conduce a una Clebsch-Gordan (el que estoy familiarizado para $SO(3)$) como pensar que $\{h_i\} \times \{\mbox{vector}\} = \{h_i\} +$ Todas las representaciones obtenidas de $\{h_i\}$ sumando o restando la unidad a partir de una sola $h_i$ de manera tal que en el conjunto resultante $h_n \geq 0$ $h_i \geq h_{i+1}$ otros $is$. Y lo mismo para $\{h_i\} \times \{\mbox{spinor}\} = \{h_i\} +$ Todas las representaciones obtenidas de $\{h_i\}$ sumando o restando la mitad de todos los $h_i$ de manera tal que en el conjunto resultante $ h_n \geq 0$ $h_i \geq h_{i+1}$ otros $is$
Asimismo, para $SO(2n)$ el carácter correspondiente fórmula se parece,
$$\chi (h_i,t_i) = \frac{\det \left(\sinh [ t_i(h_j + n-j)]\right) + \det \left(\cosh [ t_i(h_j + n-j)]\right) }{\det \left(\sinh [t_i(n-j)] \right) } $$
Y las interpretaciones similares conducen a la idea de que $\{h_i\} \times \{\mbox{vector}\} = \{h_i\} +$ Todas las representaciones obtenidas de $\{h_i\}$ sumando o restando la unidad a partir de una sola $h_i$ de manera tal que en el conjunto resultante $\vert h_n \vert \geq 0$ $h_i \geq h_{i+1}$ otros $is$. Y lo mismo para $\{h_i\} \times \{\pm \mbox{chirality spinor}\} = \{h_i\} +$ Todas las representaciones obtenidas de $\{h_i\}$ sumando o restando la mitad de todos los $h_i$ con el número de sustracciones de ser pares/impares, de tal forma que en el conjunto resultante $\vert h_n \vert \geq 0$ $h_i \geq h_{i+1}$ otros $is$
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No estoy seguro de que me estoy leyendo todo bien pero espero ser corregido y yo estaría feliz de ver referencias esperemos que en línea que se me explique el por encima de las cosas.
