(No) Pregunta de acción del grupo de fieles

Question

Considere la posibilidad de regular $9$-gon con el grupo de simetría $D_9$. Hay tres triángulos equiláteros que puede ser construido con los nueve vértices y $D_9$ actúa sobre el conjunto de $X$ de los tres triángulos. Identificar el subgrupo que actúa trivialmente.

Intento: $D_9$ actúa sobre el conjunto de $X$ de los tres triángulos, por lo $|X| = 3$. Supongo que en tal forma que los vértices de los triángulos que se permutan. $G$ es finito y la acción es fiel(Esto es cierto, que creo que ya está dado inicialmente que los tres triángulos se construyen utilizando todos los nueve vértices, por lo que cualquier perumtation de los vértices del mapa de un vértice a otro). Por lo tanto podemos escribir $$G \cong \text{subgroup of}\, S_3 = \text{subgroup of}\,S_{|X|}$$ So we want $G \cong \langle \text{id} \rangle \leq S_3$, where id is the identity permutation in $S_3$. The answer to this question is in fact the subgroup $\left\{e,g^3,g^6\right\} = \langle g^3 \rangle$. So assign a bijection $e \rightarrow 1\,\,g^3 \rightarrow 2\,\,g^6 \rightarrow 3$ and let $G$ act on itself by the left action $g \cdot h := gh$.

Entonces, cuando yo siga este medio, termino con la permutación $(123) \neq $ id. ¿Por qué es mi método de malo?

Muchas gracias

Answer 1

Identificado el subgrupo correctamente.

Darse cuenta de $D_{9}$ como el grupo de las permutaciones en $\Bbb{Z}_{9} = \{ 0, 1, \dots 8 \}$ dada por $$ x \mapsto \pm x + a, $$ para $a \in \Bbb{Z}_{9}$.

Los triángulos son $\{0, 3, 6\}$, $\{1, 4, 7\} = \{0, 3, 6\} + 1$, $\{2, 5, 8\} = \{0, 3, 6\} + 2$, así que los tres cosets del subgrupo $\{0, 3, 6\}$$\Bbb{Z}_{9}$.

Claramente, la única rotaciones que arreglar los triángulos son los tres elementos $$ \tau_{b} : x \mapsto x + b, $$ para $b \in \{0, 3, 6\}$.

Ahora considere la posibilidad de un arbitrario reflexión $$ \rho: x \mapsto -x + a. $$ Para solucionar el triángulo $\{0, 3, 6\}$, debemos tener $a \in \{0, 3, 6\}$. Pero, a continuación, $\rho$ esto enviará $1 \in \{1, 4, 7\}$$a - 1 \in \{2, 5, 8\}$, con lo que el intercambio de los triángulos $\{1, 4, 7\}$$\{2, 5, 8\}$.

Por lo que el subgrupo de actuar trivialmente en los tres triángulos es $$ K = \{ \tau_{0}, \tau_{3}, \tau_{6} \}, $$ y $D_{9}$ induce $S_3 \cong D_3 \cong D_9 / K$$X$.

Answer 2

Un fiel acción es uno para el cual el conjunto de $\ker * :=\lbrace g | \quad g*x = x \rbrace$ es igual al conjunto $\lbrace e \rbrace$.

La acción de la $D_9$ en el conjunto de los triángulos no es fiel tenemos a la no-identidad de los elementos $g^3$ $g^6$ en el núcleo de la acción.

Usted puede ver que hay una falta de identidad elemento en el núcleo, señalando que asocia a cada elemento de a $D_9$ correspondiente permutación del conjunto $X$. No $6$ permutaciones posibles de este conjunto pero tenemos $18$ elementos en $D_9$. Si pensamos en una asignación de las permutaciones asociadas a cada elemento de a$D_9$,$18$, a una de las $6$ permutaciones posibles, es evidente que esto no puede ser una $1-1$ correspondencia. Por lo tanto, debemos tener $h_1*x=h_2*x$ todos los $x$,$h_1 \ne h_2$$h_2^{-1}h_1 * x = x$. Esto demuestra que $h_2^{-1}h_1 \in \ker *$$h_2^{-1}h_1 \ne e$.

Así, ahora sabemos que hay al menos dos elementos que actúan trivialmente.

Y por lo que la acción no es fiel