Relación de recurrencia satisfecho por $\lfloor(1+\sqrt{3})^n\rfloor$

Question

Este es un seguimiento a una pregunta que me había pedido anteriormente sobre una recurrencia lineal de la relación satsified por $\lfloor(1+\sqrt{5})^n\rfloor$. He metido hasta allí, y yo en realidad quería preguntar acerca de la $L(n)=\lfloor(1+\sqrt{3})^n\rfloor$.

Siguiente Douglas sugerencia que tengo determinado de que los valores (al menos los primeros 1000) cumplir con la siguiente periodicidad:

$L(2n+5)=8L(2n+3)-4L(2n+1)$

La pregunta es ¿cómo puedo probar algo como esto. Puedo demostrar la recurrencia de los valores dentro de la función del suelo, pero la función del suelo en general, no se conmuta con la adición y la multiplicación.

Explícitamente, es fácil mostrar

$(1+\sqrt{3})^{2n+5}=8(1+\sqrt{3})^{2n+3}-4(1+\sqrt{3})^{2n+1}$

pero no estoy seguro de cómo probar la recurrencia de aquí.

Answer 1

Probar la misma relación $1-\sqrt 3$ y compruebe que las potencias resultantes son todo más pequeñas que 1, todo negativo, y cuando se añade a los mismos poderes de $1+\sqrt 3$ terminas con un entero: % todo $k=1,2,\dots$, $$(1+\sqrt 3)^k+(1-\sqrt 3)^k es un número entero.

Hay varias formas de comprobar este hecho. Por ejemplo, por inducción. O mediante el teorema del binomio.