El cierre de $C^1$ en las funciones de variación acotada

Question

Considerar el % de espacio $(BV[0,1];||.||)$con la norma

%#% $ $$||f||=|f(0)|+V_{f}[0,1]$ #% Dónde está la variación de $V_{f}[0,1]$. Mis preguntas

¿Qué es el cierre de $f$ con respecto a esta norma?

Otra pregunta es ¿cómo demostrar que esta norma es de Banach?

Answer 1

Creo que el espacio es $W^{1,1}[0, 1]$. Claramente que tenemos el clausura (decir $B$) en $W^{1, 1}$. Además, $W^{1, 1}$ es un subconjunto apropiado de $\text{BV}$.

Por lo tanto, tomar una función $f$ $W^{1, 1}$ y tomar un aproximan secuencia $f_n$ consistente en $C^\infty$ funciones en la norma de $W^{1, 1}$.

Así pues, tenemos $\|f_n - f\|_{\text{BV}} \lesssim \|f_n - f\|_{W^{1, 1}} \to 0$.

$f_n$ %#% En #% también tenemos que $C^1$ esta en $f$.

Ahora tenemos

$B$$

So, $$f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) \, \textrm{d}t.$.

Y $\|f\|_{W^{1, 1}} = \|f\|_{L^1} + \|f'\|_{L^1}$ $

Answer 2

sentarse es el espacio $W^{1,1}[0, 1]$. Nota que inicialmente $W^{1,1}[0, 1]$ es un subespacio de $BV$ además allí las normas son equivalentes. De hecho, si $f\in W^{1,1}[0, 1]$, por su continuo representante

$$f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)dt\tag{1}$$ Entonces $$|f(x)|\leq|f(0)|+|\int_{0}^{x}f'(t)dt|\leq |f(0)|+\int_{0}^{1}|f'(t)|dt.$$

Pero $V_f[0,1]=\int_{0}^{1}|f'(t)|dt$. Así $||f||_L^1\leq||f||_{\infty}\leq||f||_{BV}$ desde $||f'||_L^1\leq||f||_{BV}$

$||f||_{W^{1,1}}\leq 2||f||_{BV}.$ El uso de $(1)$ nuevo tenemos $$f(0)=-f(x)+\int_{0}^{x}f'(t)dt$$

entonces $|f(0)|\leq |f(x)|+\int_{0}^{1}|f'(t)|dt$,

la integración de $0$ $1$$|f(0)|\leq ||f||_{W^{1,1}}$y de forma análoga $||f||_{BV}\leq 2||f||_{W^{1,1}}$ ergo ambas normas son equivalentes.

Si $f_n \to f$ $BV$ $(f_n)\subset C^{1}$ $(f_n)$ es un Cawchy secuencia en la $W^{1,1}$, ya que se trata de un completo espacio de $f_n\to g$$W^{1,1}$.

Entonces $f_n\to g$ $BV$ debido a que las normas son equivalentes y por la unidad del límite de $g=f\in BV$.

Esto demuestra que el cierre de ${C^1}$ $BV$ norma es un subespacio de $W^{1,1}$.

La otra inclusión es dado porque cualquier función de $f\in W^{1,1}$ puede ser aproximada por una secuencia $f_n\to f $ $W^{1,1}$ lo que es lo mismo $f_n\to f $ en $BV$ $\blacksquare$

PS: Esa es mi respuesta es posible que contenga un poco de inglés de los problemas, pero es matemáticamente correcto! Y todos los detalles están incluidos! Es, por supuesto, inspirado en @Jonas respuesta! Y se merecía ganar la recompensa, y yo gracias a él! Pero, ¿cómo él no estaba tan seguro ( escribió creo que es W1,1) tuve que poner una respuesta completa. Mi primer pensamiento era para editar su respuesta, pero me di cuenta de que era una reescritura completa. He decidido poner una nueva respuesta.