¿Qué son el axioma de elección y el axioma de determinación?

Question

Que alguien me explique, por favor:

• ¿Qué significa, intuitivamente, el axioma de la elección?
• ¿Qué significa el axioma de la determinación, intuitivamente, y cómo se contradice con el axioma de la elección?

palabras tan sencillas como sea posible ?

Por lo que he deducido de la página de Wikipedia, entiendo que el axioma de la elección te permite tomar una decisión completamente aleatoria, es decir, la misma probabilidad para todo. Sin embargo, no entiendo de qué hablan con respecto a los conjuntos de conjuntos (¿es más de lo que acabo de describir?), y tampoco entiendo el Axioma de Determinación.

Se agradecería información sobre ellos :)

Answer 1

El axioma de elección es un axioma de la teoría de conjuntos, y se utiliza cuando se asume implícitamente que el universo está formado por conjuntos, y sólo por conjuntos. Es decir, que todo es un conjunto.

Por ejemplo, $0=\emptyset$ y $1=\{\emptyset\}$ . Como todo es un conjunto, consideremos un conjunto $X$ y todos sus elementos son conjuntos no vacíos. Formalmente $\forall y(y\in X\rightarrow \exists z(z\in y))$ .

El axioma de elección afirma la existencia de una función cuyo dominio es $X$ y su alcance es $\{z\mid\exists y(y\in X\land z\in y)\}$ (a menudo denotado como $\bigcup X$ ). La función tiene una propiedad muy especial, a saber $f(y)\in y$ . Elige a alguien de cada elemento de $X$ .

Algunos ejemplos (que no requieren el axioma de elección) son, $X=\mathcal P(\mathbb N)\setminus\{\emptyset\}$ que son todos los subconjuntos no vacíos de los números naturales.

Podemos tener $f(A)=\min A$ que es el menor elemento de $A$ se devuelve. Podemos requerir algo un poco más peculiar $f(A) = \min\{a\in A\mid a\text{ is even}\}$ si tal $a$ existe, o $\min A$ de lo contrario.

Estos son dos ejemplos que no requieren el axioma de elección, ya que podemos especificar en una fórmula uniforme a quién queremos elegir de cada $A$ .

Una equivalencia útil del axioma de elección es el lema de Zorn. Este lema es algo complicado, pero afirma que si $(A,<)$ es un conjunto parcialmente ordenado, y todo subconjunto linealmente ordenado de $A$ tiene un límite superior, entonces existe un elemento maximal.

Para ampliar la información, si $A$ es un conjunto no vacío, y $<$ define un orden parcial en $A$ si cada $C\subseteq A$ que tiene la propiedad $\forall a\forall b(a<b\lor b<a\lor a=b)$ tiene algunos $x\in A$ tal que $\forall a(a\in C\rightarrow a<x)$ entonces existe un elemento máximo - algún $x\in A$ para el que la propiedad $\forall a(a\neq x\rightarrow a<x)$ es cierto.

El lema de Zorn es muy útil en álgebra, y se utiliza en la demostración de que todo campo tiene un cierre algebraico; todo espacio vectorial tiene una base; y todo ideal puede extenderse a un ideal máximo (y muchos muchos otros usos).

La prueba utiliza en gran medida el axioma de elección (no es sorprendente, ya que los dos son equivalentes) y en pocas palabras tomamos un elemento, entonces $\{a_0\}$ está ordenada linealmente, por lo que si $a_0$ no es máxima en $A$ podemos ampliarlo. Este es el conjunto $\{b\in A\mid a<b\land a\neq b\}$ es no vacía, y podemos elegir entre ella. Elegimos entre subconjuntos no vacíos de $A$ hasta que "encontremos" un elemento máximo, o derivemos la contradicción a una u otra propiedad.

Utilizo "encontrar" porque muchas veces el elemento máximo es uno que no podemos describir agradablemente con una frase (y de hecho sin el axioma de elección hay espacios vectoriales sin base, campos sin cierres algebraicos, etc.).

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Para entender el axioma de la determinación, primero tenemos que entender qué es lo que hay que determinar.

Toma $A\subseteq\mathbb N^\mathbb N$ , es decir, un conjunto de secuencias infinitas de números naturales.

Ahora jugamos una partida, yo seré el jugador I (P-I) y tú serás el jugador I (P-II). Yo elegiré algunos $n\in\mathbb N$ y luego elegirás otro. El juego es infinitamente largo y tendrá otra ronda por cada número finito de rondas.

Tenga en cuenta que en el $n$ -en la ronda tenemos $x_n$ y $y_n$ (Yo elegí $x$ y usted elige $y$ 's). Esto define una secuencia: $$a_n =\begin{cases}x_k & n=2k\\ y_k & n=2k+1\end{cases}$$

Decimos que gano el juego si $\langle a_0,a_1\ldots\rangle\in A$ Si no, ganas el juego. Si hay una estrategia que asegure la victoria de cualquiera de los dos, entonces decimos que el juego es determinado . Es decir, existe una función de $\mathbb N$ a $\mathbb N$ que dado el estado actual del juego me dará un posible segmento de cola que asegure la victoria de uno de los jugadores. (Tenga en cuenta que normalmente hay un montón de posibles estrategias).

Por ejemplo $A$ serán todas las secuencias que sean constantes $a_n=k$ para algunos $k$ . Está claro que tienes una estrategia ganadora. Sea lo que sea que haya elegido al principio, elija otra cosa y no tenga ninguna posibilidad de ganar.

Otro ejemplo es $A$ será el conjunto de secuencias que $a_n$ es incluso cuando $n$ es par ( $a_n=n$ por ejemplo). Todo lo que tengo que hacer es elegir números pares en mi turno, y no puedo perder.

El axioma de la determinación afirma: Cada partido está determinado. Es decir, si jugamos a este tipo de juego, independientemente del conjunto de secuencias que hayamos elegido, uno de nosotros puede ganar.

El conflicto con el axioma de la elección es un poco técnico para este post (y la parte de la determinación seguramente podría ser redactada mejor por otra persona), la idea es así. Si asumimos el axioma de la determinación, entonces todo juego está determinado. Definiremos $A$ por una inducción transfinita. Ya que en cada paso del juego la colección de estrategias ganadoras es no vacía. Simplemente elegimos dicha estrategia ganadora y nos aseguramos de que no funcionará añadiendo una secuencia a $A$ repitiendo el proceso "suficientes" veces nos aseguramos de que no existe ninguna estrategia que determine el ganador después de cualquier número finito de turnos. Esto contradice la suposición de que todas las partidas están determinadas.

La determinación es en cierto modo un axioma técnico, y aunque era muy natural postular este axioma en algunas partes de la teoría de conjuntos (concretamente en la teoría descriptiva de conjuntos), la corriente principal de las matemáticas se ha sentido muy cómoda con el axioma de elección, y como señala Theo en los comentarios algunas patologías a las que estamos acostumbrados desaparecen al asumir el axioma de determinación.

Esto hace que el axioma de elección sea más común en las matemáticas modernas que la determinación. Sin embargo, las cosas pueden cambiar... las cosas pueden cambiar.

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Añadido:

Para entender la Necesito para el axioma de elección, volvemos a la maravillosa analogía de Bertrand Russell. Dados infinitos pares de zapatos, siempre se puede elegir uno de cada par, pero para elegir un calcetín de entre infinitos pares de calcetines se necesita el axioma de elección.

¿Qué significa eso? Pues bien, dados los zapatos se puede decir fácilmente "Elige todos los zapatos de la izquierda", e independientemente de cuántos pares se den en cada par hay exactamente un zapato izquierdo. Esto define una función que elige un elemento de cada par. En cambio, los calcetines son indistintos y no se puede decir cuál es el izquierdo y cuál el derecho.

¿Qué significa indistinguible? Bueno, teniendo en cuenta un par de calcetines $\{a,b\}$ siempre podemos decir "Oh, esto es $a$ y esto es $b$ ", aunque nuestra asignación de $a$ era arbitraria. Cada vez que nos dan tres pares de calcetines podemos asignar ad-hoc cada par como $a_i, b_i$ y elegir los que asignamos como $a_i$ . Sin embargo, si hay infinitos pares de calcetines, ¿podemos hacer siempre esa asignación? Bueno, sólo si asumimos que el axioma de elección se mantiene.

La cuestión es que un par de calcetines tiene dos elementos en él. Estos son siempre distintos y podemos siempre examinar el par por sí mismo y distinguir entre los dos calcetines. Siempre podemos distinguir entre tres, cuatro y cinco calcetines a la vez; así como diez o quince pares de calcetines. Simplemente asignamos a cada colección de calcetines unos nombres diferentes para poder distinguir temporalmente qué calcetín es cuál, y luego podemos elegir los nombres que queramos.

Matemáticamente hablando, si se nos da una colección finita de conjuntos no vacíos, si no nos importa la elección de los elementos, siempre que elijamos exactamente uno de cada conjunto, siempre se puede hacer. Primero tenemos que entender que "no nos importa" significa que sólo requerimos $f(A)\in A$ lo que, por supuesto, es factible ya que $A$ es no vacía. Sin embargo, en matemáticas no basta con afirmar las cosas, también hay que demostrarlas. En este caso, podemos escribir simplemente la siguiente afirmación (suponiendo que $A_1,\ldots, A_n$ son nuestros conjuntos no vacíos):

$$\exists x_1\ldots\exists x_n(x_1\in A_1\land x_2\in A_2\land\ldots\land x_n\in A_n\bigwedge f(A_1)=x_1\land f(A_2)=x_2\land\ldots\land f(A_n)=x_n)$$

Es decir, describir exactamente (aquí hago algo de trampa, no lo he descrito exactamente, pero he dado una aproximación bastante cercana) cómo $f$ parece, es la función (como quiera que una función pueda ser definida de forma teórica) que después de fijar $x_i\in A_i$ simplemente devuelve $x_i$ como la elección de $A_i$ . Como se trata de una colección finita de pares, podemos describir este tipo de elección.

Si tenemos un par entonces esta frase es muy corta, a medida que sigamos añadiendo pares escribiremos frases cada vez más largas. Si finalmente tenemos infinitos pares entonces no puede escribir este tipo de frases. Tenemos que encontrar una formulación diferente. Aquí es donde la capacidad de uniformemente distinguir algún elemento único en cada $A_i$ viene a ayudar. Supongamos que $\varphi(x)$ es la propiedad de ser un zapato izquierdo. Sea $B=\{B_n\mid n\in\mathbb N\}$ ser una colección de infinitos pares de zapatos. Si queremos elegir entre cada par, podemos hacerlo simplemente como tal:

$$\forall X(X\in B\rightarrow \varphi(f(X)))$$

Ya que existe exactamente un elemento, $a$ en cada $X$ para lo cual $\varphi(a)$ es verdadera (es decir, hay exactamente un zapato izquierdo en cada par de zapatos) esto implica la función $f$ está bien definida, en una frase finita (e incluso corta).

Ahora volvemos a los calcetines. No hay ninguna propiedad $\varphi(x)$ tal que en cada par de calcetines hay exactamente un calcetín para el que $\varphi$ es cierto. Esto significa que no podemos escribir una frase tan bonita como la anterior, ¡para elegir un calcetín de cada par!

Esto es el (con mayúscula) la clave de la cuestión aquí. En una colección finita siempre se puede distinguir cada elemento de cualquier otro. En una colección infinita puede no poder tener este lujo.

¿Qué significa eso? matemáticamente ? Significa que tal vez no pueda escribir un finito frase que le ayude a elegir entre infinitos pares sin el axioma de la elección - que afirma que este tipo de elección existe (puede no ser computable o incluso definible excepto por saber que existe en algún lugar en su universo, y por lo tanto puede tomar uno arbitrario y utilizarlo durante un tiempo).

Answer 2

Esto es sólo una respuesta a medias, ya que no sé mucho sobre el axioma de la determinación y por lo tanto no puedo explicar cómo entra en conflicto con el axioma de la elección. Sin embargo, espero que la exposición que sigue sea útil para responder a tu primera pregunta.

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Axioma de elección. Dejemos que $\{ X_i : i \in I \}$ sea un conjunto, con cada $X_i$ un conjunto no vacío. Sea $X = \bigcup_{i \in I} X_i$ la unión de todos ellos. Entonces, existe una función $f : I \to X$ tal que $f(i) \in X_i$ para cada $i$ en $I$ .

Intuitivamente, esto viene a decir que si me das cualquier colección de conjuntos no vacíos, puedo "elegir" un elemento de cada uno. Obviamente, esto es cierto en el caso de que sólo me des un número finito de conjuntos. ¿Pero qué pasa si me das infinitos? Evidentemente, puedo elegir un elemento de un número arbitrariamente grande de ellos, con el tiempo suficiente, pero no es en absoluto obvio que pueda, de un solo golpe, elegir un elemento de todo de ellos a la vez. Si puedo, debe ser porque puedo describir, de forma finitista, un procedimiento de elección que lo haga: esto es exactamente lo que $f : I \to X$ está en el axioma anterior, y por esta razón se llama función de elección .

La forma en que he descrito el problema quizás le predisponga a creer que el axioma de elección es no Es cierto. ¿Cómo puede ser que haya un procedimiento de elección para cualquier problema arbitrario ? El axioma de elección no es constructivo y se limita a afirmar la existencia de funciones de elección. Pero la mayoría de los matemáticos creen que el axioma de elección es Es cierto, porque es conveniente. De hecho, el axioma de elección es equivalente a muchas otras afirmaciones, algunas más obviamente "correctas" o "erróneas" que otras. Un famoso chiste, aparentemente debido a Jerry Bona, hace referencia a esto:

El axioma de elección es obviamente verdadero, el principio de buen ordenamiento obviamente falso, y ¿quién puede decir el lema de Zorn?

Empezaré con algunas de las menos teóricas, para mostrar cómo se conectan con las matemáticas "reales".

Equivalente 1. Todo espacio vectorial no trivial tiene al menos una base.

Al igual que el axioma de elección, esto parece totalmente razonable en entornos finitos: por ejemplo, un espacio vectorial de dimensión finita tiene obviamente una base (pero ¿cómo sabríamos que es de dimensión finita si no?), y de forma similar, dada una colección finita de conjuntos no vacíos, es obviamente posible elegir un elemento de cada conjunto.

Equivalente 2. (Teorema de Krull) Todo anillo no trivial (con identidad) tiene un ideal máximo. Esto se demuestra a partir del axioma de elección utilizando el lema de Zorn.

Equivalente 3. Toda función sobreyectiva tiene una inversa directa, es decir, si $p : X \to Y$ es una función suryectiva, entonces existe una función $f : Y \to X$ tal que $f(p(y)) = y$ para todos $y$ en $Y$ . [La función $p$ es sobreyectiva sólo si para cada $y$ en $Y$ Hay un $x$ en $X$ tal que $p(x) = y$ .]

No es difícil ver intuitivamente que esto es equivalente al axioma de la elección: después de todo, lo que ocurre aquí es que $p$ es la partición $Y$ en subconjuntos indexados por $X$ y construir $f$ se necesita escoger de cada subconjunto un elemento; a la inversa, suponiendo que esto sea cierto, dado un problema de elección, podemos reformularlo para obtener una solución utilizando esta $f$ Por conveniencia, supongamos que $X_i$ y $X_j$ no tienen elementos comunes cuando $i \ne j$ , toma $X$ como en el axioma, y poner $Y = I$ y que $p : X \to I$ sea la función que envía $x$ a $i$ si $x \in X_i$ . Entonces cualquier inverso de la derecha $f$ es obviamente una función de elección.

Sólo para mostrar por qué este tipo de cosas puede ser un poco sospechoso, vamos a hacer un pequeño ajuste en las condiciones. Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios topológicos, y que $p$ es continua. Entonces de ninguna manera está garantizado que haya una inversa continua de la derecha $f$ . Por ejemplo: dejemos que $X$ sea la recta real y $Y$ sea el círculo. Es obvio que se puede envolver $X$ alrededor de $Y$ de forma continua, por lo que existe una función suryectiva continua $p$ . Pero no hay manera de tomar un círculo y transformarlo en una línea de forma continua, por lo que no hay ninguna inversa continua de la derecha $f$ .

Equivalente 4. (Principio de ordenación) Todo conjunto no vacío admite una ordenación. Un buen ordenamiento es un ordenamiento tal que cada subconjunto no vacío tiene un único elemento mínimo].

Su equivalencia con el axioma de elección es también intuitiva: si todo conjunto no vacío tiene un ordenamiento bueno, entonces puedo dar simplemente $I$ un buen ordenamiento, y trabajar a través de cada $X_i$ en orden, dando a cada uno un ordenamiento y eligiendo un elemento mínimo; a la inversa, dado el axioma de elección, podemos simplemente "elegir" un ordenamiento.

Equivalente 5. Dados dos conjuntos cualesquiera $X$ y $Y$ , hay una inyección $X \to Y$ o una inyección $Y \to X$ o una biyección entre los dos conjuntos. Esto dice básicamente que dos números cardinales cualesquiera pueden ser comparados. Una inyección es una función tal que diferentes puntos del dominio son enviados a diferentes puntos de la imagen, es decir, una función $f : X \to Y$ es inyectiva sólo si $f(x) = f(x')$ implica $x = x'$ . Una biyección es una función que es a la vez inyectiva y suryectiva].

Equivalente 6. Dada una familia de conjuntos no vacíos $\{ X_i : i \in I \}$ su producto cartesiano $\prod_{i \in I} X_i$ no está vacío. Esto es realmente una reformulación del axioma de elección, ya que un elemento del producto cartesiano es precisamente una función de elección. El producto cartesiano de un finito número de conjuntos puede pensarse como un conjunto de listas ordenadas: por ejemplo, $X_1 \times X_2$ es el conjunto de pares $(x_1, x_2)$ donde $x_1 \in X_1$ y $x_2 \in X_2$ . Pero tal par es obviamente lo mismo que una función de $\{ 1, 2 \}$ a $X_1 \cup X_2$ Así es como definimos el producto cartesiano en el caso infinito].

Equivalente 7. (Teorema de Tychonoff) Dada una familia de espacios topológicos compactos (no vacíos), su producto cartesiano, dotado de la topología del producto, es (no vacío y) compacto. Se trata de una matemática algo avanzada, pero la expongo aquí porque está relacionada con el ejemplo anterior.

Equivalente 8. (Lema de Zorn) Todo conjunto parcialmente ordenado con la propiedad de que toda cadena tiene un límite superior tiene de hecho un elemento maximal. Un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto con una relación binaria $\le$ tal que $x \le x$ ( $\le$ es reflexivo); $x \le y$ y $y \le z$ implica $x \le z$ ( $\le$ es transitivo); y $x \le y$ y $y \le x$ implica $x = y$ ( $\le$ es antisimétrico). Una cadena es un subconjunto que tiene la propiedad adicional de que para todo $x$ y $y$ en el subconjunto , ya sea $x \le y$ o $y \le x$ . Una cadena $C$ en un conjunto parcialmente ordenado $X$ tiene un límite superior si existe un elemento $u$ en $X$ tal que $x \le u$ por cada $x$ en $C$ . Un elemento maximalista es un elemento $m$ de manera que no existen cualquier elemento $x$ tal que $m \le x$ .]

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También hay varios resultados que se sabe que no son válidos sin el axioma de elección. En otras palabras, se trata de afirmaciones implícito por el axioma de la elección, pero que no se implica el axioma de la elección, a diferencia de los equivalentes enumerados anteriormente. Algunos de estos resultados son "útiles", y otros son desagradables y van en contra de la intuición.

Consecuencia 1. Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, es decir, la dimensión de un espacio vectorial está bien definida y no depende de la base. Se puede demostrar (asumiendo la consistencia de ciertas teorías lógicas) que existe un universo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en el que el axioma de elección es falso (o, para abreviar, "un universo sin AC") y en el que hay un espacio vectorial que tiene dos bases que tienen cardinalidades diferentes.

Consecuencia 2. Todo campo tiene un cierre algebraico. [Un campo $K$ es algebraicamente cerrado si todo polinomio con coeficientes en $K$ también tiene una raíz en $K$ . El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, por ejemplo. Un cierre algebraico de un campo $F$ es un campo $K$ que es algebraicamente cerrado y contiene $F$ como subcampo]. Como en el caso anterior, existe un universo sin AC que tiene un campo sin cierre algebraico.

Consecuencia 3. Toda unión contable de conjuntos contables es de nuevo contable. Un conjunto $X$ es contable si existe una inyección $X \to \mathbb{N}$ , donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de los números naturales]. Existe un universo sin AC en el que los números reales son una unión contable de conjuntos contables, pero se puede demostrar que en cualquier universo que obedezca a ZF, los números reales deben ser incontables.

Consecuencia 4. Una función es secuencialmente continua en un punto si y sólo si también es continua en ese punto. Una función $f$ es secuencialmente continua sólo si para cada secuencia de puntos $(x_n)$ convergiendo a $x$ , $f(x_n)$ converge a $f(x)$ . Por continuo nos referimos aquí al habitual $\epsilon$ - $\delta$ definición]. Pero hay un universo sin CA en el que existe una función de los números reales que es secuencialmente continua en un punto pero no continua allí.

Consecuencia 5. (Conjunto de Vitali) Existe un subconjunto no medible por Lebesgue de la recta real. [Informalmente, existe un subconjunto de la recta real para el que no se admite una definición significativa de "longitud total" compatible con la noción intuitiva de que el intervalo unitario $[0, 1]$ tiene una longitud $1$ .] Existe un universo sin CA en el que cada subconjunto del espacio euclidiano es medible.

Consecuencia 6. (Teorema de Banach-Tarski) Existe una partición de la bola en un número finito de trozos tal que, mediante movimientos rígidos, estos trozos se pueden volver a ensamblar en dos bolas del mismo volumen como el original. Estas piezas no son, por supuesto, medibles, por lo que no existen en el universo mencionado anteriormente.

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Pero es ¿es cierto el axioma de la elección? Esa no es una pregunta realmente significativa. En el mejor de los casos, sólo podemos preguntar si la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección (o ZFC para abreviar) es lógicamente consistente o no. Desgraciadamente, la respuesta a esta pregunta es aún desconocida, y muy posiblemente nunca se puede saber . (El teorema de incompletitud de Gödel es una forma precisa de esta última afirmación: muestra que la consistencia lógica de la ZFC no puede demostrarse sólo a partir de los axiomas de la ZFC). Personalmente, abogo por el pluralismo en las matemáticas, así que no veo esto como un gran problema. Si resulta que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección es consistente y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con alguna negación del axioma de elección (por ejemplo, el axioma de determinación) es consistente, esto es tanto mejor, porque añade riqueza a las matemáticas. También es una defensa contra el caso extremadamente improbable de que alguien demuestre que ZFC es inconsistente, aunque sospecho que la mayoría de los matemáticos seguirían adelante como si nada hubiera pasado...

Answer 3

Llego tarde a la fiesta pero acabo de leer la siguiente explicación del Axioma de la Elección y me ha parecido buena, así que la añado. (Citado de Just / Weese , p. 118):

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(A9)Axioma de elección: Para cada familia $x$ de conjuntos no vacíos y disjuntos entre sí, existe un conjunto $z$ tal que $|z \cap y|=1$ para cada $y \in x$ .

El Axion of Choice generaliza el conocido proceso de elección de representantes. Si $x$ es la familia de los distritos del Congreso, entonces el Congreso de los Estados Unidos es un ejemplo de un conjunto $z$ como en (A9). Obsérvese que los distritos del Congreso no son vacíos y son disjuntos.

¿Qué hace que el axioma de la elección sea tan especial como para mencionarlo específicamente en el nombre de nuestra teoría ZFC? Su carácter no constructivo. El axioma nos asegura que habrá un Congreso después de la próxima jornada electoral, pero no especifica quién será elegido. De lo contrario, no tendría sentido celebrar elecciones en primer lugar. Esta última opción ha sido siempre la preferida por los dictadores que, evidentemente, no tienen mucha confianza en el Axioma de la Elección y prefieren legislaturas compuestas por partidarios leales.

Ahora supongamos, por el bien del argumento, que usted se hizo con el poder dictatorial de los Estados Unidos del Universo. Necesitas mantenerte en buenos términos con tu archienemigo, la Antigua Intersección Sólida, que sigue entrometiéndose en tus asuntos internos con propaganda maligna sobre los derechos humanos, la democracia y otras molestias similares. Para mantener las apariencias necesitas algún tipo de congreso. Así que empiezas a mirar la lista de distritos del Congreso y haces tus elecciones. Pero hay un problema: los Estados Unidos del Universo tienen infinitos distritos congresuales. Mientras estás ocupado eligiendo tu mejor congreso, tus enemigos pueden estar tramando tu derrocamiento. Será mejor que acabes rápidamente con este asunto de la elección del congreso. En otras palabras, debes hacer infinitas elecciones en un tiempo finito sin tener la opción de describir todas estas elecciones mediante una única fórmula. El axioma de la elección dice que de alguna manera puedes hacerlo, pero no te da mucho control sobre el resultado del proceso de selección.

Answer 4

No tengo nada técnico que añadir a la respuesta de Asaf (al fin y al cabo es él quien trabaja en el axioma de elección :-), sino algo desde la perspectiva de alguien que se preguntó durante mucho tiempo de qué trata el axioma de elección y se dio cuenta al final de que esta confusión surgía de una profunda incomprensión del sentido de la teoría axiomática de conjuntos. Si ya se tiene alguna noción (filosófica o prefilosófica) de lo que significa que los objetos matemáticos como los conjuntos "existan", es fácil que se lean las afirmaciones sobre la "existencia" de un conjunto (que abundan en la teoría axiomática de conjuntos, incluida la respuesta de Asaf) a la luz de esa noción preexistente. Eso tiende naturalmente a provocar reacciones como: "¿Qué quieres decir con que podría no haber una función de elección? Aquí está el conjunto de conjuntos, ahí está el conjunto de sus elementos, estás de acuerdo en que ambos existen y que su producto cartesiano existe, ¿cómo puedes decir que podría no haber un subconjunto de ese producto que contenga exactamente un par para cada conjunto que lo relacione con uno de sus elementos? Está ahí, ¡en eso consiste el producto cartesiano!"

La cuestión es que la teoría axiomática de conjuntos se olvida intencionadamente de todas esas intuiciones sobre qué tipos de conjuntos "hay" y se ocupa sólo de afirmaciones formales sobre la existencia de conjuntos que pueden deducirse de los axiomas y/o que se mantienen en ciertos modelos (que a menudo se parecen poco a lo que usted piensa intuitivamente como "los conjuntos que hay o deberían haber"). Si lees que "una función de elección podría no existir", no lo interpretes como que te dice algo que puedes o no puedes hacer o imaginar con conjuntos infinitos; simplemente significa que la existencia de una función de elección no puede demostrarse a partir de los axiomas, o que no hay una función de elección en el modelo concreto del que se habla.

Si te ciñes a este consejo, el axioma de la elección se vuelve mucho menos misterioso de lo que parece. En realidad, es bastante fácil imaginar que hay modelos de ciertos axiomas que no contienen conjuntos que uno cree que "deberían existir", después de todo, son sólo modelos y axiomas. Si no se utiliza el axioma del infinito, no se puede deducir de los restantes axiomas que existe un conjunto infinito, y se puede encontrar un modelo que no contenga ningún conjunto infinito -- eso no tiene nada que ver con que los conjuntos infinitos "existan realmente" en el sentido filosófico de la palabra (si es que existe :-).

En relación con esto, es importante distinguir claramente los enunciados "internos" y "externos" -- la teoría axiomática de conjuntos siempre se ocupa de un determinado universo de conjuntos, y siempre podemos hablar de éste "desde fuera" y hablar de conjuntos que "no existen" dentro del universo considerado. Evidentemente, esto no sería posible si todas las afirmaciones sobre la "existencia" se refirieran al "universo real de conjuntos" (sea cual sea) y no a uno en particular.

Después de todo esto, uno podría preguntarse por qué molestarse con la teoría axiomática de conjuntos si sólo es un juego formal con axiomas y modelos. La razón es que nuestra intuición sobre los conjuntos puede resultar bastante poco fiable, como demuestran las paradojas que aparecen por doquier en lo que ahora se llama "teoría ingenua de conjuntos". Podemos decir algo como "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos", y pensar que hemos dicho algo significativo, cuando en realidad hemos dicho algo totalmente sin sentido, ya que no puede haber tal cosa. Ahora bien, eso no significa que no se pueda formar la colección de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos y pensar en ella, al igual que se puede formar el producto cartesiano como la colección de todos los pares y pensar en él y llegar a la conclusión obvia de que contiene una función de elección; la paradoja surge sólo si se insiste en llamar a esa colección "conjunto". Así que la teoría axiomática de conjuntos, en cierto sentido, nos permite definir formalmente y sin muchos de los escollos de la "teoría ingenua de conjuntos" qué tipo de cosas queremos llamar "conjunto" en un contexto dado -- eso no es razón para dudar de la existencia de otras colecciones, o para no llamar a estas colecciones "conjuntos" en un contexto diferente (si eso resulta ser consistente).