Nota: si usted sabe los fundamentos de los circuitos, siéntase libre para saltar el breve resumen de la experiencia; la cuestión está en la parte inferior, comenzando por debajo de la triple regla horizontal.
La mayoría de la gente con algo de física de fondo está familiarizado con el circuito básico de análisis. Vamos a restringir esta pregunta sólo a las redes eléctricas que consta únicamente de las resistencias y las baterías, y vamos a configurar nuestro problema a ser el cálculo de la corriente de estado estable a través de cada uno de los cables; tomar, por ejemplo, la siguiente red, conocido como un puente de Wheatstone:
Los problemas más sencillos - con un solo de batería a menudo puede ser atacado mediante dos reglas para las resistencias que todo ingeniero sabe. Estos a menudo nos permiten transformar una red de resistencias en una virtual "resistencia equivalente", en el cual se puede resolver por las corrientes usando la ley de Ohm.
La primera regla es que los resistores en serie agregar, por lo que la resistencia equivalente del siguiente circuito es de 10 ohms
La segunda regla de resistencias en paralelo agregar armónicamente, por lo que la resistencia equivalente del siguiente circuito satisface $1/R_{eq} = 1/8 + 1/12$, y por lo tanto $R_{eq} = 24/5$ ohmios. Si hay más de dos resistencias, la suma de todos sus recíprocos aparecerá en el lado derecho.
Tenga en cuenta que estas dos reglas no son suficientes para calcular la corriente de estado estable para cada posible resistencia de la batería de la red; por ejemplo, el puente de Wheatstone se mencionó anteriormente.
En estos más complicado de los casos, la solución para que todas las corrientes requiere de Kirchoff de las reglas, que el estado
- La suma de las corrientes que entran a cualquier nodo en una red eléctrica es igual a la suma de las corrientes de salir de ese nodo.
- El cambio total en la tensión alrededor de cualquier bucle en una red eléctrica es cero.
Junto con la ley de Ohm, que dice que la caída de voltaje a través de un ideal resistor de resistencia $R$ sujeto a una corriente de $I$ amperios es sólo $\Delta V = IR$, estas reglas nos permiten emplear un conjunto de ecuaciones lineales de la corriente de estado estable. Hay un montón de ejemplos de estos tipos de problemas en los primeros capítulos de cualquier circuitos de libros de texto, o en línea.
Ahora vamos a pasar a la base gráfica de un ideal de resistencia de la batería de la red. Vamos a seguir adelante y asumir que la red eléctrica es biconnected, por lo que en realidad es posible el flujo de una corriente entre dos puntos cualesquiera. Supongamos que nuestro gráfico ha $V$ nodos y $E$ bordes. A continuación, nuestro sistema de ecuaciones lineales tiene $E$ incógnitas, a saber, la corriente a través de cada uno de los cables.
A partir de Kirchoff primera regla, obtenemos $V$ ecuaciones de la forma $I_j + \cdots = I_k + \cdots$, de los cuales (bajo el supuesto de la conexión) $V - 1$ son independientes. (Tenga en cuenta que la suma de los de las ecuaciones da cero.)
Si la red es planar, Kirchoff la segunda regla de da $F$ ecuaciones independientes, donde $F$ es el número de caras (incluyendo el rostro infinito), y cada ecuación corresponde a la observación de los voltajes alrededor del contorno de la cara. Cada ecuación se parece en algo a $\pm V_j \pm \cdots + \pm I_kR_k = 0$, donde el $V_i$ son los voltajes de las baterías y el $R_i$ son las resistencias de las resistencias.
De nuevo tenemos que sólo terminará con $F-1$ ecuaciones independientes; esto es debido a que debidamente firmado combinación lineal de las ecuaciones se suma a la ecuación correspondiente para el rostro infinito.
Ahora la fórmula de Euler da que tenemos $V + F - 2 = E$ restricciones; me cabe duda de que es terriblemente difícil mostrar que estas ecuaciones son independientes. Entonces estamos, de hecho, únicamente pueden resolver esta resistencia de la red.
Por otro lado, ¿qué pasa si tenemos un no-plana ideal de resistencia de la batería de la red, dicen conectado de acuerdo a un $K_{3,3}$ o $K_5$? ¿Siempre tenemos suficiente limitaciones? Basado en lo que he escrito arriba, parece que el número de restricciones menos el número de incógnitas va a ser $\chi - 2 = -2g$ donde $\chi$ es el mínimo de Euler característica de cualquier superficie en la que la gráfica puede ser incorporado y, a continuación, $g$ es el género de la gráfica.
En particular, esto sugiere que la resistencia de la batería redes cuyo subyacente gráficos tienen distinto de cero género no son exactamente solucionable. Esto no de malla con intuición física; ¿cómo podemos resolver estos dos argumentos?
