¿Cuál es el orden del grupo de simetría del cubo?

Question

Descubrí que hay 24 simetrías rotacionales, que se muestran a continuación. Fijación de la rotación: caras = 9 diagonales = 8 bordes = 6 identidad = 1 total = 24

Ahora, no sé por qué el grupo de simetría del 3-cubo tiene 48 elementos; sé que tiene que ver con la reflexión pero no puedo imaginarlo. Además, mi profesor me dio la siguiente pista que me cuesta entender: "Considere la acción del grupo de simetría en el conjunto de cuatro diagonales". ¿Cómo es esto relevante?

Answer 1

He encontrado una forma bonita y elemental de visualizar esto.

Mira las transformaciones lineales en $\mathbb{R}^3$ . Queremos que el cubo permanezca fijo.
La forma fundamental de hacerlo es reetiquetando los ejes $(x, y, z)$ . [ej: $(x,y,z)\mapsto (y,z,x)$ ] Puede hacerlo en $3! = 6$ formas.
A partir de ahí, también puedes asignar signos a los ejes. [Ej: $(x,y,z)\mapsto (y,-z,x)$ ]. Puede asignar $2$ signos en cada posición de forma independiente $-$ en $2^3 = 8$ formas.

Esto agota las posibilidades permitidas. Así, el número total de transformaciones que mantienen el cubo fijo es $3! \times 2^3 = 48$ .

Answer 2

Ciertamente puedes ver que hay al menos una reflexión que fija el cubo, y que no aparece en el grupo de simetrías rotacionales. Ahora fija una de esas reflexiones y compóngala con cualquiera de las simetrías rotacionales (en un orden fijo, digamos para concretar que siempre se empieza por la reflexión). Esto da como resultado $24$ simetrías, y ninguna de ellas es una simetría rotacional (pues de lo contrario se podría obtener la reflexión componiendo dos simetrías rotacionales, cosa que no se puede). Así que tienes $24$ nuevas simetrías del cubo, todas invirtiendo la orientación. Además esto es todo, ya que una simetría que preserva la orientación es rotacional, y uno $S$ que invierte la orientación se convierte en una simetría que preserva la orientación $R$ cuando la precedes de tu reflexión elegida, y $R$ es la simetría rotacional que hay que realizar después de la reflexión elegida para obtener $S$ . Eso da $24+24=48$ simetrías en total.

Una forma más canónica de emparejar las simetrías rotacional y reflexiva es componer con la simetría central (enviando puntos a sus antípodas) que (gracias a la dimensión impar) invierte la orientación. Esta es la única simetría no trivial que fija todas las $4$ diagonales. Cada par de simetría rotacional-reflexiva corresponde entonces a una permutación del $4$ diagonales, la permutación que ambos inducen.

Obsérvese que no todas las simetrías que invierten la orientación son reflexiones (de ahí que haya utilizado el vago término "reflexivo" arriba); de hecho, hay $9$ reflexiones (para $3$ pares de caras opuestas y $6$ pares de aristas opuestas), $6$ reflexiones rotativas con eje a través de un par de caras, $8$ reflexiones rotativas con eje una diagonal, y $1$ simetría central. Coinciden perfectamente con su clasificación de las simetrías rotacionales, a través del mencionado emparejamiento canónico.

Answer 3

El grupo de simetría actúa sobre las diagonales por permutación, lo que da de nuevo el $4!=24$ que encontraste. De nuevo, si añades reflejos, el número se duplica.