Teniendo en cuenta la prueba por la inducción simple

Question

Cómo sería esto:

$$\frac{((n+1)+1)(2(n+1) + 1)(2(n+1) + 3)}{3}$$

A este Factor:

$$(2(n+1)+1)^2$$

Esta es una parte de una inducción de la prueba, lo que me gustaría publicar una imagen si mi reputación fue mayor... Escribiendo esto desde un teléfono, pero se añade más detalle más adelante si es necesario, gracias de nuevo.

Gracias, por favor incluya todos los pasos-

EDITAR Gracias amWhy, debe ser algo más sucediendo en la prueba...

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EDITAR Gracias anorton el Látex ayuda, así que a continuación está el enlace a la prueba, todavía estoy tratando de entender la inicial inductivo pasos en este método, quiero saber si se necesita más:

Answer 1

Su primera ecuación, a menos que hay un error tipográfico, no es un factor en $[2(n+1)+1]^2$:

Su primera ecuación es un polinomio cúbico (grado 3), y la segunda es una ecuación cuadrática, un polinomio de grado dos, por lo que no pueden ser equivalentes.

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*Editar: (imagen de declaración del problema):

Dada su hipótesis de asumir la verdad de que $$\sum_{j=0}^n (2j+1)^2 = \frac{(n+1)(2n + 1)(2n + 3)}{3} \;\;\;\text{holds for $n$,}$$

entonces lo que usted necesita para mostrar, después de haber utilizado su inductivo hipótesis correctamente, es que

$$\frac{(n+1)(2n + 1)(2n + 3)}{3} + [2(n+1) = 1]^2 = \frac{((n+1)+1)(2(n+1) + 1)(2(n+1) + 3)}{3}\quad\quad\quad\tag{1}$$

O, como alternativa, y más sencillo, podemos probar a $(1)$ mostrando que:

$$\frac{(n+1)(2n + 1)(2n + 3)}{3} -\frac{((n+1)+1)(2(n+1) + 1)(2(n+1) + 3)}{3} = [2(n+1) = 1]^2\quad\quad\quad\tag{2}$$

Y demostrando la ecuación de $(2)$ debe proceder sin problemas, si usted es cuidadoso con su álgebra! Los términos relacionados con la $n^3$ va a cancelar, etc, y usted va a terminar con la cuadrática en el lado derecho de la ecuación ($(2)$