¿Por qué es $\mathbb{Z} [\sqrt{24}] \ne \mathbb{Z} [\sqrt{6}]$?

Question

¿Por qué es $\mathbb{Z} [\sqrt{24}] \ne \mathbb{Z} [\sqrt{6}]$, $\mathbb{Q} (\sqrt{24}) = \mathbb{Q} (\sqrt{6})$?

(Sólo conjeturar, ¿hay alguna operación de división implícita tomando $2 = \sqrt{4}$ hacia fuera por debajo del $\sqrt{}$ que no se puede hacer en el ring?)

Gracias. (Siento debo pedir disculpas por una simple pregunta).

Answer 1

No hay necesidad de disculparse; y su instinto es correcto. Tenga en cuenta que $\sqrt{6}\notin\mathbb{Z}[\sqrt{24}]$; de hecho, $$\mathbb{Z}[\sqrt{24}]=\{a+b\sqrt{24}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}=\{a+2c\sqrt{6}\mid a,c\in \mathbb{Z}\}.$ Mus$, $\mathbb{Z}[\sqrt{24}]$ consta de los elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ para que es el número de veces que se produce el $\sqrt{6}$. Sin embargo, al pensar en $\mathbb{Q}$, ahora tenemos $\frac{1}{2}$ a nuestra disposición y $$\mathbb{Q}(\sqrt{24})=\{a+b\sqrt{24}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}=\{a+2c\sqrt{6}\mid a,c\in \mathbb{Q}\}=\{a+d\sqrt{6}\mid a,d\in\mathbb{Q}\}=\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ $ porque podemos tomar $c=\frac{d}{2}$.

Answer 2

Ya que $\sqrt{6}\not\in\mathbb{Z} [\sqrt{24}]$.