Determina la Integral $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(2bx)dx$

Question

Por favor, no marques esta pregunta como duplicada. Tengo que resolver esto con un método diferente del que creo que se ha discutido sobre esta pregunta en particular (al menos según mi conocimiento).

Estoy confrontado con el cálculo de la integral a continuación:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(2bx)dx, b \in \mathbb R, b \gt0$$

Entiendo que esta es una pregunta en la que el Análisis Complejo tiene aplicaciones en el Análisis Real. Específicamente, se utilizará el Teorema de Cauchy. Dicho esto, la pista que me dieron (y el método que estoy intentando usar) es el siguiente:

Integra $e^{-z^2}$ sobre esta curva:

La curva es un rectángulo tal que su longitud es $2R$ y su anchura es $b$. Además, la longitud en el lado inferior del rectángulo yace en el eje x. Por último, la dirección de la curvatura es en sentido contrario a las agujas del reloj.

¿Mi pregunta es la siguiente: por qué integrar $e^{-z^2}$, y no $e^{-z^2}\cos(2bz)$? Es decir, ¿la integral real que estamos calculando? Sé que la primera sería más fácil de integrar, pero ¿dónde fue el término $\cos(2bz)$ y dónde volverá a entrar en juego?

También es importante decir que $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt = \sqrt\pi$ será útil aquí también.

Por último, sé que a partir de la pista sugerida, habrá cuatro curvas para evaluar: las dos longitudes y las dos anchuras del rectángulo.

Answer 1

Si establecemos: $$ f(b) = \int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\cos(2bx)\,dx \tag{1}$$ tenemos: $$ f'(b) = -\int_{\mathbb{R}} 2x\,e^{-x^2} \sin(2bx)\,dx \stackrel{\text{IBP}}{=}-2b\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2}\cos(2bx)\,dx=-2b\,f(b).\tag{2}$$ Así que tenemos que $f$ es una solución de una ecuación diferencial separable y $$ f(b) = f(0)\, e^{-b^2}.\tag{3}$$ Dado que $f(0)=\sqrt{\pi}$,

$$ \int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\cos(2bx)\,dx = \color{red}{\sqrt{\pi}\, e^{-b^2}}\tag{4}$$

sigue.