Independencia lineal sobre $\mathbb Q$ y $\mathbb R$ de subconjuntos de $2^{\mathbb N}$

Question

Tengo la siguiente duda:

Supongamos que $f_1,\ldots,f_n\in 2^{\mathbb N}$ son tales que $\{f_1,\ldots,f_n\}$ es linealmente independiente en $\mathbb Q$ -espacio vectorial $\mathbb{Q^N}$ . ¿Sigue siendo este conjunto linealmente independiente en el $\mathbb R$ -espacio vectorial $\mathbb{R^N}$ ?

Aquí $2=\{0,1\}$ . Quisiera pistas, no respuestas completas.

Gracias

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Edita: He demostrado que si hay algún $I\subseteq\Bbb N$ tal que $f_1\upharpoonright I,\ldots,f_n\upharpoonright I$ es linealmente independiente sobre $\Bbb Q$ con $|I|\geq n$ ,entonces hemos terminado, sin embargo no puedo ver por qué tal $I$ debe existir.

Answer 1

Supongamos que $\lambda_1 f_1 + \cdots + \lambda_n f_n = 0$ donde $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}$ . Trate de elegir una base para el $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial abarcado por $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ .

Answer 2

No creo que ninguno de estos consejos sea realmente útil.

Sugerencia: Sí. Observa, por ejemplo, que puedes comprobar la independencia lineal en la no evanescencia de algún determinante.

Mejor pista: Llame $V_Q = \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$ , $V_R = \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , dejemos que $i : V_Q \to V_R$ la inclusión natural (donde estoy pensando en $V_R$ como $\mathbb{Q}$ espacio vectorial). Dado que el $f_i$ son linealmente independientes, pueden extenderse a una base. Existe una $\mathbb{Q}$ transformación lineal llevándolas por tanto a las funciones $\delta_i$ : $T : V_Q \to V_Q$ . Existe una ampliación de $T$ a algunos $Q$ -lineal invertible $T' : V_R \to V_R$ tal que $T' \circ i = i \circ T$ .

Esto (creo) reduce su problema a la cuestión de demostrar que el $\delta_i$ seguir siendo independiente en $V_R$ que debería estar más o menos claro (por ejemplo, observando la función de proyección sobre coordenadas).

El punto principal de esto: Todos los conjuntos independientes de un espacio vectorial pueden extenderse a una base, y todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo aspecto. Pero algunas bases son mejores que otras.

(Tenga en cuenta que el $\delta_i$ no forman una base).

Answer 3

Sugerencia: Para cada $s: 2^n \to 2$ elegir algunos $i_s = i$ tal que $s = \langle f_j(i) : j < n \rangle$ (si no existe $i$ elegir cero). Sea $I$ sea el conjunto de estos $i_s$ 's. Ahora puede restringir su $f_j$ 's a $I$ .

Answer 4

Si consideramos esta cuestión desde un punto de vista categórico, entonces el punto principal es la cuestión de si el mapa canónico

$$R \otimes \lim Q \to \lim ( R \otimes Q) \tag{$ * $}$$

es inyectiva. (Para los espacios vectoriales esto debería funcionar, para los módulos puede necesitar algo como la planitud)

¿Qué relación tiene esto con la pregunta? Bien $\Bbb R \otimes \prod \Bbb Q$ tiene la "misma" base que $\prod \Bbb Q$ y preguntarse si cualquier familia lineal independiente allí es linealmente independiente en $\prod \Bbb R$ equivale a preguntar si el mapa

$$\Bbb R \otimes \prod \Bbb Q \to \prod ( \Bbb R \otimes \Bbb Q),$$

inducida por la propiedad universal del producto, es inyectiva.

Así que estamos tomando la base antigua y añadiendo aún más elementos de base al pasar de $\prod \Bbb Q$ a $\prod \Bbb R$ . Por el contrario, si observamos ${\Bbb R}_{\Bbb Q} \to \Bbb R$ esto daría como resultado un mapa $\bigoplus_{\Bbb R / \Bbb Q} \Bbb R \to \Bbb R$ que no puede ser inyectiva.

Edita: Algunos comentarios sobre por qué este mapa es inyectivo. El producto tensorial es un adjunto a la izquierda por lo que conmuta con coproductos arbitrarios, en particular con sumas directas. Pero las sumas finitas son isomorfas al producto finito. Así que si el conjunto índice es finito el mapa es incluso un isomorfismo. El caso general puede hacerse por inducción transfinita, ya que el mapa puede verse como un límite inductivo sobre cardinalidades menores y los límites inductivos preservan los monomorfismos.

También una observación: Quiero que los productos estén indexados sobre $\Bbb N$ . He cambiado a la noción de producto en lugar del espacio de función ${\Bbb Q}^{\Bbb N}$ ya que estoy utilizando las propiedades del producto.

Por último, pero no por ello menos importante: Para el caso límite general como en el mapa $(*)$ se puede utilizar el hecho de que los límites son subespacios de productos y $R$ es plana.