Deje $X$ ser una variedad lisa de más de un algebraicamente cerrado campo de $k$ de la dimensión de $n$. Considerar el Grupo de Grothendieck $K(X)$ coherente de las poleas en $X$, es decir, la libre abelian grupo generado por las expresiones de $[\mathscr F]$ $\mathscr F$ coherente gavilla en $X$, el modulo de la relación $[\mathscr F]=[\mathscr K]+[\mathscr Q]$ cada vez que hay una secuencia exacta $$0\to\mathscr K\to\mathscr F\to\mathscr Q\to 0.$$
Puede activar $K(X)$ en un anillo con la multiplicación inducida por el producto tensor, es decir,$[\mathscr F]\cdot[\mathscr F]:=[\mathscr F\otimes \mathscr G]$. Sin embargo, vi el producto definido como $$[\mathscr F]\cdot[\mathscr G] := \sum_{i=0}^n (-1)^i [\operatorname{Tor}_i(\mathscr F,\mathscr G)]$$ en la Positividad en el grupo de Grothendieck de complejo bandera variedades de Brion, en la página 5 en el arXiv versión.
Ahora, este debe salir de la misma definición de la $\operatorname{Tor}_i$ como la izquierda derivada del producto tensor. Sin embargo, no funciona de esa manera para mí, así que estoy buscando el error en mis cálculos.
Elija una resolución proyectiva de $\mathscr G$, decir $0\to\mathscr R_n\to\cdots\to\mathscr R_1\to \mathscr R_0 := \mathscr G\to 0$.
Se aplican $\mathscr F\otimes (-)$ a esta secuencia y con $\mathscr P_i := \mathscr F\otimes \mathscr R_i$, obtenemos la secuencia exacta $$0\xrightarrow{d_{n+1}=0} \mathscr P_n \xrightarrow{d_n} \cdots \xrightarrow{d_2} \mathscr P_1 \xrightarrow{d_1} \mathscr P_0 = \mathscr F\otimes \mathscr G\xrightarrow{d_0=0} 0$$ Ahora establecer $\mathscr K_i := \ker(d_i)$, $\mathscr I_i := \operatorname{im}(d_i)$ y $\mathscr T_i := \operatorname{Tor}_i(\mathscr F,\mathscr G)= \mathscr K_i / \mathscr I_{i+1}$. Entonces tenemos dos secuencias exactas, \begin{align*} 0&\to \mathscr I_{i+1} \to \mathscr K_i \to \mathscr T_i \to 0 &&\text{and}& 0&\to \mathscr K_{i} \to \mathscr P_i \to \mathscr I_i \to 0 \end{align*} Tenga en cuenta que$\mathscr I_{n+1}=0$$\mathscr K_0=\mathscr P_0 = \mathscr F\otimes\mathscr G$, por lo que tenemos \begin{align*} \sum_{i=0}^n (-1)^i [\mathscr T_i] &= \sum_{i=0}^n (-1)^i ([\mathscr K_i]-[\mathscr I_{i+1}]) = [\mathscr K_0] + \sum_{i=1}^{n} (-1)^i ([\mathscr K_i]+[\mathscr I_i]) \\ &= [\mathscr P_0] + \sum_{i=1}^n (-1)^i [\mathscr P_i] = \sum_{i=0}^n (-1)^i [\mathscr P_i] = \sum_{i=0}^n (-1)^i [\mathscr F\otimes \mathscr R_i] \\ &= \sum_{i=0}^n (-1)^i [\mathscr F]\cdot[\mathscr R_i] = [\mathscr F]\cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i [\mathscr R_i] \end{align*} Pero, básicamente, por el mismo cálculo, la exactitud de la compleja $\mathscr R_\bullet$,$\sum_{i=0}^n (-1)^i [\mathscr R_i] = 0$.
¿Qué estoy haciendo mal?
