$x^4 + y^4 = z^2$

Question

$x, y, z \in \mathbb{N}$,

$\gcd(x, y) = 1$

demostrar que$x^4 + y^4 = z^2$ no tiene soluciones.

Es cierto incluso sin$\gcd(x, y) = 1$, pero es fácil ver que$\gcd(x, y)$ debe ser$1$

Answer 1

Este ha sido completamente revisado para que coincida con la intención de que se trate. La prueba está mostrando que no hay un mínimo de solución positiva, es decir, por el descenso infinito. Es a partir de algunas notas antiguas; yo no tengo ni idea de donde me cribbed que en el primer lugar.

Supongamos que $x^4+y^4=z^2$ donde $z$ es el menor entero positivo para el cual existe una solución en los enteros positivos. A continuación, $(x^2,y^2,z)$ es una terna Pitagórica primitiva, por lo que hay son relativamente primos enteros $m,n$ $m>n$ tal que $x^2=m^2-n^2,y^2=2mn$, e $z=m^2+n^2$.

Desde $2mn=y^2$, $m$ $n$ es un extraño plaza, y el otro es el doble de un cuadrado. En particular, uno es impar, y es aún. Ahora $x^2+n^2=m^2$, e $\gcd(x,n)=1$ (desde $m$ $n$ son relativamente primos), por lo $(x,n,m)$ es una terna Pitagórica primitiva, y debe ser $n$ que aún: no deben ser números enteros $a$ $b$ tal que $a>b$, $a$ y $b$ son relativamente primos, $x=a^2-b^2$, $n=2ab$, y $m=a^2+b^2$. Debe ser $m$ que es el raro de la plaza, por lo que no son enteros $r$ $s$ tal que $m=r^2$$n=2s^2$.

Ahora $2s^2=n=2ab$, lo $s^2=ab$, y debemos tener $a=c^2$ $b=d^2$ para algunos enteros $c$$d$, ya que el $\gcd(a,b)=1$. La ecuación de $m=a^2+b^2$ puede entonces escribirse $r^2=c^4+d^4$.