¿Cómo demostrar que$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos(2x)}{e^x+1}=0$?

Question

Estoy atascado tratando de demostrar que$\displaystyle \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos(2x)}{e^x+1}=0$

He intentado usar un enfoque de tipo Squeeze teorema, pero al$\pi/4$ cualquier función elijo solapamientos y se convierte en menor o mayor que la función función. No estoy seguro de por dónde empezar ya. Cualquier cosa será útil. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Deje$x \mapsto -x$ después conseguimos$\displaystyle I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos(2x)}{e^{-x}+1}$ - la adición de ellos tenemos:

$\displaystyle 2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos(2x)}{e^x+1}+\frac{\cos(2x)}{e^{-x}+1}\;{dx}= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(2x) = 0$. Así$I= 0$.

Answer 2

Hay un resultado señaló lo siguiente

Supongamos$f$ es continua e incluso en$[-a,a]$,$a>0$ #%% luego # $%

Utilizando este resultado,$$\int\limits_{-a}^a \frac{f(x)}{1+e^{x}} \mathrm dx = \int\limits_0^a f(x) \mathrm dx$.