Prueba de que $\int_0^{2\pi}\sin nx\,dx=\int_0^{2\pi}\cos nx\,dx=0$

Question

Demuestra que $\int_0^{2\pi}\sin nx\,dx=\int_0^{2\pi}\cos nx\,dx=0$ para todos los enteros $n \neq 0$.

Creo que se me anima a demostrar esto por inducción (pero probablemente también funcionaría un método más sencillo). Esto es lo que he intentado: $$\text{1.}\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=\int_0^{2\pi}\cos x\,dx=0.\;\checkmark\\\text{2. Supongamos}\int_0^{2\pi}\sin nx\,dx=\int_0^{2\pi}\cos nx\,dx=0.\;\checkmark\\\text{3. Demostrar}\int_0^{2\pi}\sin (nx+x)\,dx=\int_0^{2\pi}\cos (nx+x)\,dx=0.\\\text{[Desde aquí, estoy perdido. He intentado aplicar una identidad trigonométrica, pero no estoy seguro de cómo proceder.]}\\\text{Para la integral de}\sin\text{,}\int_0^{2\pi}\sin (nx+x)\,dx=\int_0^{2\pi}\sin nx\cos x\,dx+\int_0^{2\pi}\cos nx\sin x\,dx.$$

Espero estar en el camino correcto. En el último paso, tengo $\sin nx$ y $\cos nx$ en las integrales, pero no estoy seguro de si eso me ayuda. Agradecería cualquier ayuda con esto. Gracias :)

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Como indiqué anteriormente, sería genial encontrar una forma de completar esta demostración por inducción, probablemente, como dijo Arkamis, "trabajando como el ferrocarril transcontinental" con identidades trigonométricas (si es posible). Creo que mi instructor desaconsejó una simple sustitución $u$, porque recientemente nos hemos centrado en la manipulación de identidades trigonométricas.

Answer 1

¿Por qué no calcularlo directamente, usando una sustitución? Si $u = nx$, entonces $\frac{du}{n} = dx$ y

$$\begin{align*} \\\int_0^{2\pi} \sin{nx} dx &= \int_{x = 0}^{x = 2\pi} \sin{u} \frac{du}{n} \\ &= -\frac{1}{n} \cos{u} \Big|_{x = 0}^{x = 2\pi} \\ &= -\frac{1}{n} \cos nx \Big|_0^{2\pi} \\ &= \frac{1}{n} \left(\cos{2\pi n} - \cos{0}\right) \\ &= \frac{1}{n} (1 - 1) = 0 \end{align*}$$

Answer 2

No sé si puedes usar $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ pero aquí hay una solución: $$\int_0^{2\pi}e^{inx}\,dx=\frac 1{in}e^{inx}\left|_0^{2\pi}\right.=0$$

Answer 3

Pista: $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ y $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$.

¿Qué significa la pista para $\int_0^{\pi/n}\sin(nx)\,\mathrm{d}x$ y $\int_{\pi/n}^{2\pi/n}\sin(nx)\,\mathrm{d}x$ ?

Para $\int_0^{\pi/n}\cos(nx)\,\mathrm{d}x$ y $\int_{\pi/n}^{2\pi/n}\cos(nx)\,\mathrm{d}x$ ?

Answer 4

La sustitución $t=2\pi - x$, $dt=-dx$ da

$$\int_0^{2\pi} \sin nx\: dx = \int_{2\pi}^0 \sin (-nt) (-dt) = \int_{2\pi}^0 \sin nt\: dt = -\int_0^{2\pi} \sin nx\: dx$$

por lo tanto $\int_0^{2\pi} \sin nx dx=0$. ¡No es necesario evaluar la integral!

¿Puedes encontrar un truco similar para $\cos$?

Answer 5

Usar el hecho de que $\sin$ es $2\pi$-periódico te da

$$\int_0^{2\pi}\sin(nx)\,dx= \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)=0,$$

porque $\sin$ es una función impar. No se necesita inducción. Probar la ecuación para $\cos$ parece difícil sin usar la sustitución $u$ en alguna forma (escribiste en un comentario que no debías usar sustitución).