La mayoría de triangulación simétrica de$\mathbb{R}^n$

Question

Considere la posibilidad de la $n$-dimensional espacio Euclidiano con su standart métrica. Es bien sabido que admite una triangulación regular simplices sólo si $n\le 2$. Así que vamos a considerar menos regular de las triangulaciones. Permite llamar a un triangulación $T$ simétrica si el grupo de isomoetries de $\mathbb{R}^n$ que preservar $T$ actúa transitivamente sobre el conjunto de la $n$-dimensiones simplices.

Para cualquier $n$-simplex $X$ podemos entonces considerar el subgrupo de aquellas isometrías que el mapa del simplex a sí mismo. Es permutes los vértices del simplex y por lo tanto es un subgrupo del grupo simétrico $\Sigma_{n+1}$. Si era todo el grupo (o incluso si actúa transtively en el conjunto de aristas) del simplex sería regular. Así que este no es el caso.

¿Cuál es el grupo más grande que puede ocurrir de esta manera? (fijo $n\ge 3$) y ¿cómo funciona el correspoonding triangulación ? Me gustaría considerar que la triangulación de un análogo de la tesselation de la distancia Euclídea 2-plano con triángulos regulares. Así que es interesante preguntarse cómo se parecen.

Answer 1

Hay cinco conocido que llena el espacio tetraédrica familias. Puede ser un poco difícil decidir que tiene el mayor grupo de isometría. Un tetraedro regular tiene un grupo de simetría de orden de 24 incluyendo reflexiones.

Conway y Torquato escribió un artículo de 2006 de Embalaje, suelo de baldosas, y cubriendo con tetraedros que aborda, entre otras cosas, a la pregunta "¿cuáles son los "más cercano a regular" tetraedros que se mosaico 3-el espacio?". Varios significados de "lo más cercano a regular" se consideran, incluyendo una proporción mínima de más largo a más corto borde, y una mínima diferencia entre el mayor y el valor menor de los ángulos entre los bordes.

En cualquier caso, hay familias (ver "Escocés irregulares" en el artículo anterior relacionado) donde el individuo tetraedros son fijados por ocho simetrías de toda la teselación.

Según el artículo de la Wikipedia Tetraedro hay siete posibilidades para el grupo de isometría de un tetraedro irregular, con el orden máximo de ocho. Esto ocurre cuando los cuatro lados son congruentes isoceles triángulos.

Añadido: aprendí acerca de la Coxeter simplex $A_3$, lo que ilustra el anterior grupo de simetría de orden de 8 de 2003, en un papel por Warren D. Smith, ternas Pitagóricas, racional ángulos, y que llena el espacio simplices. He aquí un relato adaptado de una lesión medular.matemáticas post que hice en el 2009.

La construcción da un parámetro 1-mosaico de 3D por el mosaico del avión con la unidad equilátero triángulos y luego erigir prismas (de longitud infinita) perpendicular al plano basado en los triángulos. Pasando cíclicamente alrededor de los vértices de un triángulo que marca puntos en las alturas $na, (n+1)a, (n+2)a, (n+3)a$ a lo largo de las líneas de aumento perpendicular a los tres vértices.

Tenga en cuenta que el último punto marcado es a distancia 3a sobre la primera. Estos cuatro puntos son los vértices de un tetraedro, con el borde longitudes 3a,b,b,b,c,c donde:

$$ b^2 = a^2 + 1 \;\; \mathscr{and} \;\; c^2 = 4a^2 + 1 $$

La construcción continúa a llenar el prisma mediante la adición de la siguiente simplex entre los correspondientes puntos en las alturas $(n+1)a, (n+2)a, (n+3)a,$ $(n+4)a,$ con cada una de las sucesivas simplex compartir una cara triangular con el anterior. Es claro que el simplexes son congruentes y llenar el prisma, por lo que el espacio puede ser llenado por una como la de llenado de cada prisma.

Si $a$ es elegido de manera que $b = 3a$, es decir,$a = 1/\sqrt{8}$, el resultado del prisma es Coxeter $A_3$, un "máximo simétrica" de los miembros de la 1-parámetro de familia con todos los cuatro lados congruentes.

En el momento en el que especula que la solución en dimensiones superiores sería Coxeter simplex $A_n$, pero todavía no he tomado el tiempo para revisitar.