Esta prueba parece tan sencilla que es difícil (si es que eso tiene algún sentido).
Según la definición, n es par si existe k de manera que n = 2k.
Lo que realmente quiero decir es (a grandes rasgos)
Por definición, dejemos que $n = 2k.\;$ Entonces $n+1 = 2k + 1$ .
$2k + 1$ no es divisible por $2$ Por lo tanto $n + 1$ no es uniforme.
No consigo averiguar cómo mostrar el trabajo. Cualquier ayuda será apreciada.
Me encanta la contradicción. Así es como lo haría yo:
Que n y n+1 sean pares,
Por lo tanto, $n=2k$ para algún k y $n+1=2j$ para algunos $j,k \in \mathbb{I}$
Restando, $n+1-n=2j-2k$ . $$1 = 2(j-k)$$ $$\frac{1}{2} = j-k$$ Pero, 1<2 entonces, la fracción no es un entero y la diferencia de 2 enteros es necesariamente un entero. Por lo tanto, ¡contradicción!
Tendrías que añadir un paso para relacionarlo con tu definición de número par.
Supongamos que $2k+1$ es par. entonces existen algunos $k_1$ tal que $2k+1=2k_1$ . ¿Qué significa esto?
Bien, si ese es el caso, entonces simples manipulaciones algebraicas nos llevan a $$ 1=2(k_1-k) $$ lo que significa $(k_1-k)=1/2$ . Pero $k,k_1$ son números enteros, y $1/2$ no lo es, $1$ siendo menor que $2$ . Obtenemos una contradicción.
Lo que falta hasta ahora es una prueba rigurosa de que $1$ no es uniforme. Aquí hay uno que parte de la aritmética de Peano.
Supongamos que $1=S(0)$ es par. Eso significa que para algunos $a$ tenemos que $S(0)=a+a$ . Ahora, o bien $a=0$ o $a=S(b)$ para algunos $b$ . (Esto se puede demostrar por inducción en $a$ si no lo conoce ya).
En el caso de que $a=0$ tenemos $S(0)=0+0=0$ pero $S(x)\ne 0$ para todos $x$ por axioma, así que esto es una contradicción.
Por otro lado, si $a=S(b)$ entonces $$S(0)=S(b)+S(b)=S(S(b)+b)=S(b+S(b))=S(S(b+b))$$ donde en el paso intermedio estoy usando la conmutatividad de la adición que supongo que ya hemos demostrado. Pero se requiere que la función sucesora sea inyectiva, por lo que los extremos de esta ecuación dan $0=S(b+b)$ lo que vuelve a contradecir la $S(x)\ne 0$ axioma.
Por lo tanto, no hay $a$ tal que $1=a+a$ -- en otras palabras, $1$ no es uniforme.
Para un par de números pares dado $2a>2b$ es el caso que $2a-2b=2(a-b)$ . Por tanto, la diferencia entre dos números pares es par. Sin embargo, la diferencia entre $n$ y $n+1$ es $1$ que no es un número par. Por lo tanto, no puede darse el caso de que ambos $n$ y $n+1$ están igualados.
Esta es una versión ligeramente diferente que demuestra que, en general, no hay dos números consecutivos que sean pares.
Aquí hay otra breve prueba de que eso $1$ no es uniforme. No llega hasta los cimientos como el de Henning, pero puede ser apropiado dependiendo de las herramientas con las que se trabaje.
Considere la expresión $1 \div 2$ . Por el Algoritmo de la División, hay un único $q$ y $r < 2$ tal que $$ 1 = 2q + r, $$ Desde $1 < 2$ Debe ser que $q = 0$ y $r = 1$ Es decir $$ 1 = 2\cdot 0 + 1. $$ Como tenemos un resto no nulo, se deduce que $2$ no divide $1$ . Es decir, $1$ no es uniforme.
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