Converge$\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)$?

Question

Debo determinar si la siguiente serie converge:$$\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ $

Sé que, en general, debo utilizar la prueba de comparación límite, pero no puedo encontrar una expresión a la que me puedo comparar. Por ejemplo, he intentado el proceso habitual:

Para$n$ grande, tenemos que$\lim_{n\to \infty}n\sin\frac1n=1$, y así,$\ln(1)=0$. Esto no pasa la prueba de divergencia, pero no se puede concluir automáticamente que la serie es convergente tampoco. ¿En qué puedo continuar aquí? Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

El uso de series de Taylor,$$\sin x\sim x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$$$ \ ln (1 x) \ sim x \ frac {x ^ 2} {2} \ frac {x ^ 3} {3} O (x ^ 3) Cuando $$$n\rightarrow\infty$,$$n\sin\frac{1}{n}\sim n(\frac{1}{n}-\frac{1}{3!n^3}+o(\frac{1}{n^3}))=1-\frac{1}{6n^2}+o(\frac{1}{n^2})$ $

Por lo tanto,$$\ln(n\sin\frac{1}{n})\sim -\frac{1}{6n^2}+o(\frac{1}{n^2})-\frac{\left(-\frac{1}{6n^2}+o(\frac{1}{n^2})\right)^2}{2}+o\left(-\frac{1}{6n^2}+o(\frac{1}{n^2}\right)=-\frac{1}{6n^2}+o(\frac{1}{n^2})$ $

Como$\sum\dfrac{1}{n^2}$ es convergente, por lo que es$\sum\ln(n\sin\dfrac{1}{n})$.

Espero que esto le pueda ayudar.