Estoy casi seguro de que el libro está equivocado en esta "prueba" de un límite.

Question

Matemáticas avanzadas por Mingming Chen, Zhengyou Guo Jingxian Yu, Jinqiu Li. Chemical Industry Press pg 28, sección 1.4.2 Ejemplo 2.

Prueba $$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} = \infty$$

Prueba $\;\forall\, M > 0$ queremos encontrar $\delta > 0$ tal que $\left\lvert \frac{1}{x-1} \right\rvert > M$ para $ 0 < \vert x -1 \vert < \delta$ .

Desde $\left\lvert \frac{1}{x-1} \right\rvert > M $ equivale a $\left\lvert x -1 \right\rvert < \frac{1}{M}$ , toma $\delta = \frac{1}{M}$ Entonces, para todos los $x$ satisfaciendo $0 < \vert x-1 \vert < \delta = \frac{1}{M}$ tenemos $\left\lvert \frac{1}{x-1}\right\rvert > M$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} = \infty$

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solicitado por Chris Culter

1.4.2 Cantidad infinita,

Definición 1 : Si el límite de una función $f\left(x\right)$ como $x \rightarrow x_0$ (o $x \rightarrow \infty$ ) es 0, entonces la función $f\left(x\right)$ se llama cantidad infinitesimal con respecto a $x\rightarrow x_0$ (o $x\rightarrow \infty$ ).

Teorema 1 La condición necesaria y suficiente para $\lim f\left(x\right) = A$ es $f\left(x\right) = A + \alpha\left(x\right)$ , donde $\alpha\left(x\right)$ es una cantidad infinitesimal.

Definición 2 Supongamos que tenemos una función $f$ lo siento, no puedo encontrar el comando LaTeX para eso : $\mathring{U}\left(x_0\right) \to \mathbb{R}$ . Si $\,\forall\, M >0,\;\exists \, \delta >0$ , de tal manera que $\vert f\left(x\right) \vert > M$ para todos $x$ satisfaciendo $0 < \vert x-x_0 \vert < \delta$ entonces $f\left(x\right)$ se llama infinito como $x \to x_0$ , denotado por

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty\,\mbox{ or } f(x) \to \infty \mbox{ as } x\to x_0 $$

Si utilizamos $f(x) > M$ (o $f(x) < -M$ ) en lugar de $\vert f(x) \vert >M$ en la definición anterior, entonces $f(x)$ se llama infinito positivo (o negativo) como $x \to x_0$ , denotado por $$\lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty \left(\mbox{ or } \lim_{x\to x_0} f(x) = -\infty\right)$$

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Estoy confundido porque

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} \neq \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1}$$

Entonces el límite es DNE

¿Me he perdido algo?

Answer 1

Esto depende de cómo se extienda $\mathbb{R}$ al "infinito" - si estás usando la línea real extendida (con los dos infinitos $\pm \infty$ con los respectivos barrios $\pm x >M$ ), entonces tiene razón. Sin embargo, si se utiliza la compactación de un punto/proyectiva de la línea real, entonces sólo hay un punto en el infinito (con vecindades $|x| > M$ ) y la prueba dada es correcta.

De las definiciones que has añadido en tu edición podemos ver que este autor utiliza $\infty$ para significar el único infinito en la compactificación de un punto, y por separado $\pm \infty$ para referirse a los dos infinitos en la línea real extendida. Por lo tanto, la prueba es correcta.

Answer 2

Tienes razón, el límite suele considerarse no $\infty$ . El límite como $x$ se acerca a $0$ de la izquierda es $-\infty$ . Este es el punto de vista adoptado en todos los libros de cálculo que he utilizado como textos. Identificando $+\infty$ y $-\infty$ es muy poco útil desde el punto de vista gráfico.

Answer 3

Las desigualdades de la prueba se refieren a $|x-1|$ y no $(x-1)$ . Por lo tanto, el argumento puede leerse como una prueba correcta del límite de $\frac{1}{|x-1|}$ o como un error de falta de signos de valor absoluto " $| \cdots |$ " en la declaración del resultado.

La compactación en un punto se utiliza menos en el análisis real y más en el análisis complejo o con funciones racionales. Esta función es racional, pero no hay necesidad de desigualdades para calcular los límites de las funciones racionales en forma reducida. La sustitución de $1$ para $x$ puede hacerse directamente. Si el libro significa el límite para el complejo $x \to 1$ entonces el enunciado y la prueba pueden considerarse correctos.

[El Actualización ha aclarado las cosas. En la definición del libro, $\lim f = \infty$ es lo mismo que $\lim |f|=+\infty$ . Esto resuelve la contradicción, y muestra por qué las desigualdades utilizan $|x1|$ . No es raro decir cosas como $\sin(x)/x^2$ "es infinito" en $x=0$ Aunque el cartel es diferente en los dos lados. Para acomodar este tipo de lenguaje, el libro utiliza $\pm \infty$ como valores numéricos (en un sistema numérico real ampliado) y " $=\infty$ " como una propiedad que puede tener un valor. Esto permite la ecuación $-\infty = \infty$ evitando la interpretación de que las compactaciones de uno y dos puntos se utilizan al mismo tiempo en la misma página del libro].

Answer 4

Dadas sus Definiciones y la prueba, NO hay error en la prueba. Cualquier línea de razonamiento de que algo está mal, se dirigiría a la definición dada. La definición como axioma, la prueba es una consecuencia lógica.

Una pregunta mejor sería sobre sus definiciones.