Límite de$\lim_{x\to\infty}{\frac{\cos(\frac{1}{x})-1}{\cos(\frac{2}{x})-1}}$

Question

Encontrar el límite de:$$\lim_{x\to\infty}{\frac{\cos(\frac{1}{x})-1}{\cos(\frac{2}{x})-1}}$ $

Answer 1

Dejar $h=\frac{1}{x}$. Queremos encontrar$$\lim_{h\to 0^+} \frac{\cos h-1}{\cos 2h-1}.$ $ De la identidad$\cos 2h=2\cos^2h-1$, vemos que queremos$$\lim_{h\to 0^+} \frac{\cos h-1}{2\cos^2 h-2}.$ $ Pero$2(\cos^2 h-1)=2(\cos h-1)(\cos h+1)$, por lo que queremos$$\lim_{h\to 0^+} \frac{1}{2(\cos h+1)}.$ $ Este límite es$\dfrac{1}{4}$.

Answer 2

Desde$\cos t \sim 1-t^2/2$ a partir de series de Taylor, entonces $$ \ lim_ {x \ to \ infty} {\ frac {\ cos (\ frac {1} {x}) - 1} {\ cos (\ frac {2} {x}) - 1}} = \ lim_ {x \ to \ infty} {\ frac {\ frac {1} {2x ^ 2}} {\ frac {4} {2x ^ 2}}} = 1/4 $$

Answer 3

Vamos a definir:$$h=\frac{1}{x}$ $ continuación:$$h\to0$ $ Así que vamos a reescribir el límite como:$$\lim_{h\to0}{\frac{\cos(h)-1}{\cos(2h)-1}}=\lim_{h\to0}{\frac{-\sin(h)}{-2\sin(2h)}}=\lim_{h\to0}{\frac{h}{2\cdot2h}}=\frac{1}{4}$ $

Answer 4

¿Qué tal un poco de l'hospital?

ps

Answer 5

ps