Demostrar que se trata de una norma

Question

Deje$X$ sea un espacio vectorial real o complejo. Deje$N:X\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función con las siguientes propiedades

1. $N(x)\geq 0$,
2. $N(x)=0$ si y solo si $x=0$,
3. $N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$,
4. El conjunto$B=\lbrace x\in X\text{ }|\text{ }N(x)\leq 1\rbrace$ es convexa.

Demostrar que$N$ es una norma.

Soy incapaz de demostrar la desigualdad triangular.

Answer 1

Considere$x,y\ne 0$ y definir$\tilde{x}=\frac{1}{N(x)}x$,$\tilde{y}=\frac{1}{N(y)}y$. Luego, por la propiedad 3.,$N(\tilde{x})=1=N(\tilde{y})$. Así$\tilde{x},\tilde{y}$ pertenecen a$B$. Vamos a usar la convexidad a continuación:$$ z=\frac{N(x)}{N(x)+N(y)}\tilde{x} + \frac{N(y)}{N(x)+N(y)}\tilde{y} \in B.$ $ Esto rinde$N(z)\leq 1$, lo que equivale a$$N(N(x)\tilde{x}+N(y)\tilde{y})\leq N(x)+N(y)$ $ por la propiedad 3. nuevo.

Ahora, ya que$N(x)\tilde{x}=x$ y$N(y)\tilde{y}$, por definición, hemos terminado.

Answer 2

Pista: Mostrar$$\frac{x+y}{N(x)+N(y)}\in B$ $