¿Cuántas tiradas de un dado hasta que se obtiene cada resultado posible?

Question

Un dado se lanza hasta que cada resultado posible (es decir, cada número entero de 1 a 6) se obtiene. Encuentre el valor esperado del número de tiros.

¿Cómo puedo hacer eso? Yo entiendo que la probabilidad para el único resultado es$\{1, 5/6, \ldots , 1/6\}$, pero ¿qué pasa con el valor esperado?

Answer 1

Este es un muy popular problema. Me enteré de esto como el "cobrador del problema". Leer más aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem.

Básicamente, usted desea modelo de rodar un dado hasta que un nuevo rostro se muestra como una distribución geométrica con $p_k = \frac{6-k}{6}$ donde $k = 0,\dotsc,5$ es el número de caras que he visto. Por lo tanto, si $X_k$ denota rodando hasta que usted vea en $k$th cara diferente, a continuación,$X_k\sim\text{geom}(p_k)$$\{1,2,3,\dots\}$. De ello se desprende que $X = X_0+\dotsb+X_5$ es el número de rollos hasta que haya visto todos los seis caras. Entonces $$E[X] = E[X_0]+E[X_1]+\dotsb+E[X_5] = \frac{6}{6}+\frac{6}{5}+\dotsb+\frac{6}{1}=14.7.$$

Answer 2

Mientras se espera la cara $k$, la probabilidad de obtener caras ya rodó es $\frac{k-1}n$. Por lo tanto, se espera que el número de rollos de estar cara a $k$, después de rodar la cara $k-1$, es $$ \begin{align} \sum_{j=1}^\infty\overbrace{\left(\frac{k-1}n\right)^{j-1}}^{\text{roll %#%#% already rolled}}\ \ \overbrace{\frac{n-k+1}n\vphantom{\left(\frac kn\right)^1}}^{\text{roll %#%#% not rolled}}\,j &=\frac{n-k+1}n\frac1{\left(1-\frac{k-1}n\right)^2}\\ &=\frac{n}{n-k+1} \end{align} $$ Por lo tanto, se espera que el número de rollos para obtener todas las caras es $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac{n}{n-k+1} &=n\sum_{k=1}^n\frac1k\\ &\sim n\log(n)+\gamma n+\frac12-\frac1{12n}+O\left(\frac1{n^3}\right) \end{align} $$ donde $j-1$ es el de Euler-Mascheroni Constante. La expansión asintótica es obtenido usando el de Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma.

Para un $1$colindado mueren, se espera que el número de rollos es exactamente $\gamma$.

El uso de los términos en la expansión asintótica para $6$ da $14.7$. La aproximación se obtiene mejor para el mayor $n=6$.