Grado de Toric divisores

Question

¿Es posible calcular el grado de un divisor tórica directamente desde el ventilador de la variedad tórica? Si es así, ¿cómo se hace? ¿O hay alguna forma alternativa para calcular el grado de estos divisores?

Answer 1

Deje que la variedad sea tórica$X$; dejar $d = \mathrm{dim} \ X$. Para cualquier Cartier$T$ - divisor$D$, podemos describir$\dim H^0(X, \mathcal{O}(D))$ como el número de puntos de la red en un cierto politopo$P_D$. Vea la Sección 5.3 de la Introducción de Fulton a las variedades tóricas. El grado de$D$ es$d! \mathrm{Vol}(P_D)$.

Demostración: Sea$h(n)$ sea el polinomio de Hilbert$h(n) = \dim H^0(X, \mathcal{O}(nD))$. Sabemos que el término principal de$h(n)$ es$\mathrm{deg}(\mathcal{O}(D)) n^d/d!$. Pero, además, el número de puntos de la red en$n \cdot P_D$ es$\mathrm{Vol}(P_D) n^d + O(n^{d-1})$. La equiparación de estos dos,$\mathrm{deg}(\mathcal{O}(D)) = d! \mathrm{Vol}(P_D)$. $\square$