Si$a+\sqrt{b}=c+\sqrt{d}$ hace$a=c$ y$b=d$?

Question

Si$a+\sqrt{b}=c+\sqrt{d}$ hace$a=c$ y$b=d$?

Estoy con una ley de algunos problemas y yo no creo que esto es cierto, pero, de repente, estoy dudando de mí mismo ...

Answer 1

Como se puede ver, hay muchos contraejemplos. No voy a añadir cualquier, excepto para señalar que tenemos problemas cuando ambas$b$ y$d$ son cuadrado perfecto.

Entonces, ¿qué podemos decir es esto: siempre que al menos uno de$b, d$ no es un cuadrado perfecto, entonces sí,$$a + \sqrt b = c + \sqrt d \iff a = c\;\;\text {and} \;\;b = d$ $

Answer 2

Si $a+\sqrt{b}=c+\sqrt{d}$,$(a-c)+\sqrt{b}=\sqrt{d}$, por lo que claramente es suficiente para estudiar cuando es posible tener $$a+\sqrt{b}=\sqrt{d}.$$ Si $b,d$ son arbitrarias de los números reales positivos, entonces dado cualquier $a$ $b$ tal que $a+\sqrt{b}\geq 0$, entonces no es un $d\geq 0$, es decir,$d=(a+\sqrt{b})^2$, de tal manera que $\sqrt{d}=a+\sqrt{b}$. Así que voy a suponer que a partir de ahora que el OP significaba $a\in\mathbb{Q}$$b,d\in \mathbb{Q}^{\geq 0}$.

Supongamos $a+\sqrt{b}=\sqrt{d}$ mantiene. Luego, elevando al cuadrado ambos lados obtenemos $$a^2+2a\sqrt{b} + b = d,$$ Si $a=0$,$b=d$. De lo contrario, si $a\neq 0$, luego
$$\sqrt{b}=\frac{d-a^2-b}{2a}\in \mathbb{Q}.$$ En particular, $b$ debe ser un cuadrado perfecto, y $a+\sqrt{b}\geq 0$.

Por el contrario, si $b$ es un cuadrado perfecto, decir $b=B^2$ algunos $B\geq 0$, por lo que el $B=\sqrt{b}\in \mathbb{Q}$, e $a+\sqrt{b}=a+B\geq 0$, entonces uno puede tomar $d=(a+B)^2$, por lo que $$a+\sqrt{b}=a+B=\sqrt{d}.$$ Por lo tanto, $a+\sqrt{b}=\sqrt{d}$ tiene una solución si y sólo si $b$ es un cuadrado perfecto, $b=B^2$ algunos $B\geq 0$, e $a+B\geq 0$ o$a=0$$b=d$.

Por lo tanto, $a+\sqrt{b}=c+\sqrt{d}$ tiene una solución si y sólo si $b$ es un cuadrado perfecto, $b=B^2$ algunos $B\geq 0$, e $(a-c)+B\geq 0$ (de modo que $d=((a-c)+B)^2$ también es un cuadrado perfecto) o$a=c$$b=d$.

Ejemplo: En el ejemplo de David Mitra en los comentarios, $$1+\sqrt{4}=2+\sqrt{1}$$ tenemos $b=4=2^2$, lo $B=2$, e $(1-2)+2=1\geq 0$.

Answer 3

a = 2 b = c = 4 3 d = 1 es un contraejemplo?

Answer 4

Esto es incorrecto. Por ejemplo, vamos$a = 1$,$b = 4$,$c = 2$ y$d = 1$ del ejemplo de Mitra. La igualdad se mantiene, pero los valores correspondientes no lo son. Hay más que eso contraejemplo.

contraejemplo más fácil: Let$a = d = 1$ y$b = c = 0$. A continuación, se cumple la igualdad, pero$a \neq c$ y$b \neq d$.

Estoy bastante seguro de que se puede encontrar otro ejemplo contrario. ;)