Qué es un sistema integrable

Question

¿Qué es un sistema integrable y ¿cuál es el significado de tales sistemas? (Quizá sea más fácil explicar qué es un sistema no integrable). En particular, ¿existe una dicotomía entre "integrable" y "caótico"? (Hay una interesante artículo de wikipedia pero no lo encuentro del todo satisfactorio).

Actualización (Diciembre 2010): Gracias por las excelentes respuestas. Me encontré con otra cita de Nigel Hitchin:

"La integrabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales debe manifestarse a través de algunas características generalmente reconocibles:

• la existencia de muchas cantidades conservadas

• la presencia de la geometría algebraica

• la capacidad de dar soluciones explícitas.

Estas directrices deben interpretarse en un sentido muy amplio".

(Si hay algunos aspectos mencionados por Hitchin que no se abordan en las respuestas actuales, las adiciones son bienvenidas...)

Pregunta estrechamente relacionada: ¿Qué significa que una ecuación diferencial "sea integrable"?

Answer 1

No creo que se pueda decir que hay una dicotomía entre sistemas integrables y caóticos. Ciertamente, hay un gran abismo en el medio. Por sistema caótico solemos entender un sistema en el que las trayectorias de los puntos se desvían exponencialmente con el tiempo; un ejemplo canónico es el mapa del gato de Arnold (o Anosov). En este caso, una tajectoria genérica es, por supuesto, densa en todas partes del espacio de fase. Esto está relacionado con la ergodicidad (en el caso de que exista una medida preservada por el sistema). Pero, por supuesto, no todos los sistemas ergódicos son caóticos. Hay diferentes grados de caos, mezcla, mezcla fuerte, ect.

Por el contrario, para un sistema integrable el movimiento de cada trayectoria es cuasi-periódico, permanece para siempre en un toroide semidimensional, tales sistemas son posteriores. Una pequeña perturbación de tal sistema ya no es integrable. La teoría KAM describe el residuo de integrabilidad de la prealteración, mientras que la difusión de Arnol se refiere a las trayectorias que ya no se mueven cuasiperiódicamente.

Hay un ejemplo asombroso debido a Moser, que muestra cómo el mapa del gato puede "ocurrir" en un nivel degenerado de un sistema integarble página 6 en

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0810/0810.5713v1.pdf

Answer 2

Las respuestas anteriores se refieren sobre todo a sistemas de dimensiones finitas. En cuanto a los (sistemas de) EDP, normalmente se necesita el Pares laxos o una representación de curvatura cero (véase, por ejemplo, el Takhtajan--Faddeev libro mencionado en la entrada de la wikipedia que enlazaste para la definición de este último) o algo así. Hasta donde yo sé, todavía no se ha llegado a entender completamente qué es un sistema integrable para el caso de tres (3D) o más variables independientes. En particular, para el caso 3D la inmensa mayoría de los ejemplos son generalizaciones de los sistemas con dos variables independientes. Estas generalizaciones se construyen utilizando el llamado procedimiento de extensión central (por ejemplo, la ecuación KP está relacionada con la KdV de esta manera). En cuanto a las sugerencias de lectura, además del libro de Takhtajan--Faddeev citado anteriormente, puedes consultar, por ejemplo, un libro bastante reciente Introducción a los sistemas integrables clásicos por Babelon, Bernard y Talon, y en el libro Teoría multihamiltoniana de los sistemas dinámicos de Maciej Blaszak, que cubre el tema de la extensión central de forma bastante sencilla. Ambos libros tienen una amplia bibliografía con más referencias para consultar.

Ahora, en cuanto a clasificación y identificación de (nuevos) sistemas integrables de EDP, al menos en dos variables independientes, resulta que las simetrías (infinitesimales superiores) juegan aquí un papel importante. Una reciente monografía colectiva Integrabilidad editado por A.V. Mikhailov y publicado por Springer en 2009, podría ser un buen punto de partida en esta dirección. Véase también otro libro reciente Teoría algebraica de las ecuaciones diferenciales editado por MacCallum y Mikhailov y publicado por Cambridge University Press. Para una introducción general al tema de las simetrías de (sistemas de) EDP, puedo recomendar el libro Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales por Peter Olver.

Answer 3

Este es, por supuesto, una muy buena pregunta. Que debo prefacio con la advertencia de que a pesar de haber trabajado en algunos aspectos de la integrabilidad, yo no me considero un experto. Sin embargo, he pensado acerca de esta cuestión, y (sobre todo).

Me limitaré a integrabilidad en el clásico (es decir, de hamilton) la mecánica, ya que cuántica integrabilidad tiene a mi mente una muy diferente sabor.

La definición estándar, que se puede encontrar en el artículo de la wikipedia que está conectado, es que de Liouville. Dada una distribución de Poisson colector $P$ parametrising the states of a mechanical system, a hamiltonian function $H \in C^\infty(P)$ defines a vector field $\lbrace H,-\rbrace$, whose flows are the classical trajectories of the system. A function $f \in C^\infty(P)$ which Poisson-commutes with $H$ is constant along the classical trajectories and hence is called a conserved quantity. The Jacobi identity for the Poisson bracket says that if $f,g \in C^\infty(P)$ are conserved quantities so is their Poisson bracket $\lbrace f,g\rbrace$. Two conserved quantities are said to be in involution if they Poisson-commute. The system is said to be classically integrable if it admits "as many as possible" independent conserved quantities $f_1,f_2,\dots$ in involution. Independence means that the set of points of $P$ where their derivatives $df_1,df_2,\dots$ son linealmente independientes, es denso.

Estoy siendo deliberadamente vaga por encima. Si $P$ is a finite-dimensional and symplectic, hence of even dimension n$, then "as many as possible" means $n$. (One can include $H$ among the conserved quantities.) However there are interesting infinite-dimensional examples (e.g., KdV hierarchy and its cousins) where $P$ is only Poisson and "as many as possible" means in practice an infinite number of conserved quantities. Also it is not strictly necessary for the conserved quantities to be in involution, but one can allow the Lie subalgebra of $C^\infty(P)$ que se extienden a ser solucionable, pero nonabelian.

Ahora, la razón que integrabilidad parece ser una resbaladiza idea es que uno puede argumentar que "localmente" razonable hamiltoniano del sistema es integrable en este sentido. El sello distintivo de la integrabilidad, de acuerdo a los practicantes de todos modos, parece ser de coordenadas dependientes. Me refiero a esto en el sentido de que $P$, generalmente, no está dada de manera abstracta como un colector, pero viene con un dado de coordenadas del gráfico. Integrabilidad, a continuación, requiere la conserva las cantidades a ser escrito como expresiones locales (por ejemplo, el diferencial de polinomios,...) de las coordenadas proporcionadas.

Answer 4

Voy a sacar de la del interrogador lo que sugiere que tal vez es mejor decir lo que NO es integrable sistema.

El Newtoniano planar de tres cuerpo problema, para la mayoría de las masas, ha sido demostrado ser no-integrable.

Antes de Poincaré, no parecía ser una especie de general de la esperanza en el aire que todas las comunidades autónomas Hamiltoniano del sistema fue integrable. Uno de Poincaré las grandes afirmaciones de la fama, demostró en su Les Metodos de Nouvelles de Mecanique Celeste, fue que los planos de los tres cuerpos de problema no es completamente integrable. Es la dinámica de sistemas equivalentes de Galois de trabajo en quintics. Específicamente, Poincaré demostró que además de la energía, momento angular y momento lineal no hay otras funciones ANALÍTICAS en el espacio de fase que de Poisson conmuta con la energía. (Para ser más cuidadosa: cualquier "otro" de la función es una función de la energía, momento angular y momento lineal. Y su prueba, o sus extensiones, sólo se mantiene en el parámetro de la región donde uno de la masa domina a los otros dos. Todavía es posible que por muy misas especiales y angular momenta/ energías del sistema es integrable. Nadie cree esto). Lo mejor que me puede decir, la existencia de adicionales suave integrales (con fractal-como conjuntos de nivel) todavía está abierto, al menos en la mayoría de los casos.

De poincaré del impossibitly prueba se basa en el descubrimiento de lo que hoy es llamado "homoclinic enredo" incrustado dentro de la restringida tres cuerpo problema, se ve en un marco giratorio. En esta maraña, la inestable y estable colector de algún punto (una órbita en la no-rotación marco inercial) se cruzan entre sí infinitamente a menudo, estos puntos de cruce de tener el momento de su cierre.
A grandes rasgos, un adicional integral tendría que ser constante a lo largo de este complicado conjunto. Ahora uso el hecho de que si los ceros de una analítica de la función tiene un punto de acumulación, entonces, que la función es cero a la conclusión de que la función es cero.

Antes de Poincaré (y supongo que desde que) los matemáticos y, en particular, los astrónomos dedicado mucha energía a la búsqueda de secuencias de cambios de variables que hizo que el sistema "más y más integrables". Poincaré se dio cuenta de la serie de la definición de sus transformaciones fueron divergentes, de ahí su interés en la divergentes de la serie. Esta divergencia problema es el "pequeño denominadores problema" y conseguir alrededor de él poniendo el número teórico de las condiciones en las frecuencias que aparecen en el corazón de la KAM teorema.

Answer 5

La respuesta sencilla es que un sistema hamiltoniano de 2n dimensiones de EDO es integrable si tiene n constantes del movimiento (funcionalmente) independientes que están "en involución". (Funcionalmente independiente significa que ninguna de ellas puede escribirse como función de las otras. Y "en involución" significa que sus raquetas de Poissoon se desvanecen, una condición un tanto técnica que no definiré cuidadosamente (* pero véase más adelante), sino que te remito a ella: http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket ). El ejemplo más sencillo y motivador es el Oscilador Armónico n-dimensional. Lo que hace que los sistemas integrables sean notables e interesantes es que se pueden encontrar las llamadas "variables de ángulo de acción" para ellos, en términos de las cuales la evolución temporal de cualquier órbita se vuelve transparente.

Para una discusión más detallada y moderna, puede ser útil un artículo expositivo que escribí en el Bulletin of The AMS. Se titula "On the Symmetries of Solitons", y puedes descargarlo en pdf aquí:

http://www.ams.org/journals/bull/1997-34-04/S0273-0979-97-00732-5/

Trata principalmente de la teoría de dimensión infinita de los sistemas integrables, como la SGE (ecuación de Seno-Gordon), la KdV (Korteweg deVries) y la NLS (ecuación de Schrodinger no lineal), pero comienza con una exposición de la teoría clásica de dimensión finita.

• Aquí hay un poco de lo que es el corchete de Poisson de dos funciones que explica su significado y por qué se dice que dos funciones con corchete de Poisson evanescente "conmutan de Poisson". Recordemos que en la mecánica hamiltoniana existe una dos formas naturales no degeneradas $\omega = \sum_i dp_i \wedge dq_i $ . Esto define (por contracción con $\omega$ ) una correspondencia biyectiva entre campos vectoriales y formas diferenciales 1. Bien, entonces dadas dos funciones $f$ y $g$ , dejemos que $F$ y $G$ sean los campos vectoriales correspondientes a las formas 1 $df$ y $dg$ . Entonces el corchete de Poisson de $f$ y $g$ es la función h tal que $dh$ corresponde al campo vectorial $[F,G]$ el corchete conmutador habitual de los campos vectoriales $F$ y $G$ . Así, dos funciones de Poisson conmutan si los campos vectoriales correspondientes a sus diferenciales conmutan, es decir, si los flujos definidos por estos campos vectoriales conmutan. Así pues, si un campo vectorial hamiltoniano (en una variedad simpléctica compacta de 2n dimensiones) $M$ ) es integrable, entonces pertenece a una familia n-dimensional de campos vectoriales conmutados que generan una acción del toro en $M$ . Y de aquí salen las variables de acción-ángulo: las superficies de nivel de las variables de acción son las órbitas del toro y las variables de ángulo son las coordenadas de los ángulos de los n círculos cuyo producto da una órbita del toro.