Escoger pares de calcetines de un cajón.

Question

Hay $n$ calcetines en un cajón, de $m$ diferentes colores. Inicialmente, la probabilidad de elegir un calcetín de color $c_i$ al azar es $\mathbb{P}(c_i) \cdot 2r$ Los calcetines se eligen al azar, sin reemplazo.

Cuál es la probabilidad, $\mathbb{P}(pairs)$ que $r$ ¿se eligen pares de calcetines? (es decir, todos los calcetines están emparejados)

Si $r = 1$ (Se eligen 2 calcetines):

$\mathbb{P}(pairs)$ = $\mathbb{P}$ (2 son $c_1$ o 2 son $c_2$ o ... o 2 son $c_m$ ) ~ $\sum_{k}^{m} {\left[\mathbb{P}(c_k)\right]^2}$

¿Cómo se puede generalizar esto para r?

Answer 1

En resumen, aunque puedo escribir una solución a tu problema, creo que simplificarlo puede ser bastante intratable.

Digamos que eliges $i_j$ calcetines de colores $j$ . Entonces $\sum_{j=1}^Mi_j=2r$ , $i_j\leq n_j$ para todos $j$ y la probabilidad de que se obtengan pares de esta manera particular es $\left(\begin{array}{c} 2r \\ i_1\;i_2\;\ldots\;i_m\end{array}\right)\frac{n_1(n_1-1)\ldots(n_1-i_1+1)}{n^{i_1}}\frac{n_2(n_2-1)\ldots(n_2-i_2+1)}{n^{i_2}}\ldots\frac{n_m(n_m-1)\ldots(n_m-i_m+1)}{n^{i_m}}$ donde en el caso $i_j=0$ el término correspondiente es igual a 1. El coeficiente multinomial está ahí porque se pueden elegir las medias en diferentes órdenes. Por lo tanto, $\mathbb{P}[\text{Pairs}]=\sum_{(i_j)_j:\begin{array}{c} \sum_{j=1}^Mi_j=2r \\ i_j\leq n_j \\ i_j \text{ even}\end{array}}\left(\begin{array}{c} 2r \\ i_1\;i_2\;\ldots\;i_m\end{array}\right)\frac{n_1(n_1-1)\ldots(n_1-i_1+1)n_2(n_2-1)\ldots(n_2-i_2+1)}{n^{i_2}}\ldots\frac{n_m(n_m-1)\ldots(n_m-i_m+1)}{n^{i_m}}=\\\sum_{(i_j)_j:\begin{array}{c} \sum_{j=1}^Mi_j=2r \\ i_j\leq n_j \\ i_j \text{ even}\end{array}}\left(\begin{array}{c} 2r \\ i_1\;i_2\;\ldots\;i_m\end{array}\right)\frac{n_1(n_1-1)\ldots(n_1-i_1+1)n_2(n_2-1)\ldots(n_2-i_2+1)\ldots n_m(n_m-1)\ldots(n_m-i_m+1)}{n^{2r}}$

Para ser claros, la notación de suma significa que estamos sumando sobre todos los vectores $(i_1,\ldots,i_M)$ que satisfagan las restricciones dadas. En el límite como $n_j\rightarrow\infty$ para todos $j$ pero $r$ se mantiene constante, obtenemos la aproximación $\sum_{(i_j)_j:\sum_{j=1}^Mi_j=2r, i_j \text{ even}}\left(\begin{array}{c} 2r \\ i_1\;i_2\;\ldots\;i_m\end{array}\right)\frac{n_1^{i_1}n_2^{i_2}\ldots n_m^{i_m}}{n^{2r}}$ .

Esto está bien estudiado, es la probabilidad de que una distribución multinomial tenga todos los términos pares. Que yo sepa no hay una respuesta limpia a esto, lo que significa que dudo que haya una simplificación clara de la respuesta exacta, aunque se puede calcular en el caso de valores específicos de $r$ , $n_i$ .

Answer 2

Creo que es necesario hacer algunas aclaraciones.

$\mathbb{S}$ es el conjunto de calcetines del cajón. (Cuando los elementos aparecen más de una vez, se considera que tienen algún ordinal para satisfacer la unicidad, pero siguen siendo el "mismo" elemento y, por lo tanto, se pueden emparejar).
$n_i$ es el número inicial de calcetines de color $i$ en el sorteo.
$m$ es el número de colores diferentes que pueden tener los calcetines.
$n$ es el número inicial de calcetines en el sorteo. $n = \sum_{j}^{m}n_j$
$p_i$ es la probabilidad inicial de sacar un calcetín de color $i$ del sorteo $p_i = \frac{n_i}{n}$ .
$n_i$ puede o no ser igual a $n_j$ puede o no ser igual a $n_k$ ...
(Puede haber calcetines Impares en el sorteo (es decir, calcetines que no se pueden emparejar), no hay calcetines de un color determinado, etc.)

Si $2a$ Los calcetines se eligen al azar y no se sustituyen (es decir, se elige un subconjunto de $\mathbb{S}$ ), cuál es la probabilidad, $\mathbb{P}$ ¿que estos calcetines se pueden emparejar? El orden en que se eligen los calcetines no importa. Cuando se han escogido todos, se emparejan.

Caso 1:
$\mathbb{S} = \{r, r, g, g, b, b\}$
(correctamente $\mathbb{S} = \{r_1, r_2, g_1, g_2, b_1, b_2\}$ etc.)
$a = 1$
posibles selecciones: $\{rr, rg, rb, gr, gg, gb, br, bg, bb\}$
selecciones válidas: $\{rr, gg, bb\}$
$\mathbb{P} = \frac{1}{3}$

Caso 2:
$\mathbb{S} = \{r, r, g, g, b, b\}$
$a = 2$
posibles selecciones: $\{rrgg, rrgb, rrbg, rrbb, ... , bbgg\}$
selecciones válidas: $\{rrgg, rgrg, rggr, rrbb, rbrb, rbbr, ..., bggb\}$
$\mathbb{P} = \frac{1}{5}$

Caso 3:
$\mathbb{S} = \{r, r, r, r, r, r, g, g, g, b, y, y, y, ...\}$
es mucho más complejo...
Si $a = 3$ En este caso, se podrían elegir tres pares de calcetines rojos, o un par de rojos, un par de amarillos y un par de verdes.

(La verdadera pregunta que estoy tratando de responder es para un rompecabezas de coincidencia de bordes. Si elijo $n$ piezas con $m$ bordes cada uno de $o$ piezas posibles cuál es la probabilidad de que las piezas elegidas puedan coincidir completamente (es decir, debe haber múltiplos pares de cada tipo de arista en las piezas elegidas para que la solución sea posible)).

(Gracias por las respuestas hasta ahora. Mis disculpas por publicar esto como una respuesta. No tengo acceso a la cuenta no registrada con la que publiqué la pregunta, y no puedo publicar un comentario hasta que tenga 50 de reputación).