Portada abierta / Análisis real

Question

Tengo la siguiente pregunta: Dejemos que $K \subset $ $R^1$ consiste en $0$ y los números 1/ $n$ , para $n=1,2,3,\ldots$ Demostrar que $K$ es compacto directamente desde la definición (sin usar Heine-Borel).

Estoy tratando de entender los conjuntos compactos, por lo que agradecería que alguien me diera algunos ejemplos de cubiertas y subcubiertas abiertas. Gracias.

Answer 1

Como estás tratando de entender esto, intentaré no desvelar demasiado para que puedas resolverlo por ti mismo.

Dejemos que $\mathcal{U}$ sea una cubierta del conjunto $K$ . Como $\mathcal{U}$ es una cubierta de $K$ debe existir algún tipo de $U_0\in\mathcal{U}$ tal que $0\in U_0$ .

A partir de esto, ¿se puede construir una subcubierta finita de $\mathcal{U}$ para $K$ ? Yo sugeriría poner el conjunto $U_0$ en su subcubierta finita.

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Voy a tratar de ayudarle a establecer por qué el conjunto $U_0$ es tan importante en esta prueba.

Supongamos que $K'=K\setminus\{0\}$ . Si intentáramos hacer algo parecido a lo anterior, nos daríamos cuenta de que no podemos estar totalmente seguros de que exista algún conjunto abierto en $\mathcal{U}$ que contiene $0$ . Esto es realmente crucial. Con esta información, podemos construir fácilmente una cubierta infinita de $K'$ que no tiene subcubierta finita.

Dejemos que $\mathcal{U}=\{U_n\}$ donde $U_n=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)}),\frac{1}{n}+\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)})\right)$ .

Ahora, el $U_n$ se definen de manera que $\frac{1}{n}\in U_n$ y no hay dos $U_n$ y $U_{n'}$ se cruzan en un subconjunto no vacío para $n\neq n'$ . Así que no hay subcubiertas adecuadas de $\mathcal{U}$ para $K'$ y mucho menos una subcubierta finita. De ello se deduce que $K'$ es no compacto.

Porque $0$ ya no está en nuestro conjunto, las posibles coberturas abiertas de nuestro conjunto pueden incluir ahora coberturas que no incluyan conjuntos abiertos que cubran todos los elementos excepto los finitos, y esta era la clave de la prueba para el original $K$ que incluía $0$ .

Answer 2

Toda cubierta abierta tiene al menos un elemento que cubre $0$ . Sólo un número finito de miembros de $K$ no están en ese miembro de la cubierta.

Answer 3

Dejemos que $\{U_\alpha\}_{\alpha \in A}$ sea una cubierta de $K$ . Entonces existe algún $\alpha_0 \in A$ tal que $U_{\alpha_0}$ contiene $0$ . Desde $U_{\alpha_0}$ está abierto, para algunos $\epsilon > 0$ Tenemos un balón abierto $B(0,\epsilon)$ centrado en $0$ tal que $B(0,\epsilon) \subset U_{\alpha_0}$ . Desde $\epsilon > 0$ podemos encontrar $n \in \mathbb{N}$ tal que $\epsilon > 1/n$ . Así, $B(0,\epsilon)$ contiene $\{0,1/n, 1/(n+1), \ldots\}$ . Ahora tome los elementos de la cubierta abierta que contiene $1/2, \dots, 1/(n-1)$ . Dado que sólo hay un número finito de elementos que no están en $U_{\alpha_0}$ sólo necesitamos un número finito de conjuntos abiertos en nuestra cobertura.

Answer 4

Dejemos que $\{U_\alpha\}$ sea una cobertura abierta de $K$ . Como es una cobertura, existe un $\beta$ tal que $0 \in U_\beta$ . Desde $U_\beta$ es abierto, existe un $N$ tal que $B_\frac{1}{N}(0) \subseteq U_\beta$ . Por lo tanto, para todos los $n > N$ , $\frac{1}{n} \in B_\frac{1}{N}(0) \subseteq U_\beta$ . Desde $\{U_\alpha\}$ cubre, existe $\gamma_1, \ldots, \gamma_N$ tal que $\frac{1}{i} \in U_{\gamma_i}$ . Por lo tanto, $U_\beta, U_{\gamma_1}, \ldots, U_{\gamma_N}$ es una subcapa finita de $K$ .