Una función en un espacio que es LCH secuencialmente continua pero en ninguna parte continua

Question

Esta pregunta es una extensión de Mirar, por ejemplo, de espacios topológicos donde secuencial de la continuidad no implica la continuidad.

En mi respuesta a esa pregunta, me dio un ejemplo de un espacio topológico $X$ y una función de $f : X \to \{0,1\}$ que es secuencialmente continua, pero en ningún caso continuo. El espacio de $X$ es completamente regular, pero no es localmente compacto.

Hay un ejemplo de un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$, otro espacio topológico $Y$, y una función de $f : X \to Y$ que es secuencialmente continua, pero en ningún continua?

Será aún mejor si $X$ es compacto Hausdorff y/o $Y$ es algo bonito espacio como $\{0,1\}$ o $[0,1]$.

Si damos un paso fuera de ZFC, podemos obtener una respuesta afirmativa. Supongamos $\kappa$ es un cardinal medible, por lo que hay un countably aditivo de medida $\mu : 2^{\kappa} \to \{0,1\}$ de manera tal que todos finito de conjuntos de medida de 0. A continuación, tome $X = 2^{\kappa}$ con el producto de la topología (pensar en el juego de poder de $\kappa$ como el producto de la $\kappa$ muchas copias del espacio discreto $\{0,1\}$) que es compacto Hausdorff, $Y = \{0,1\}$, e $f = \mu$. El contable de la suma de $\mu$ garantiza la continuidad secuencial. Pero el finita de conjuntos densos en $X$, como son los cofinite conjuntos. Para cada conjunto abierto no vacío en $X$ contiene un conjunto finito y un cofinite conjuntos, cuyas medidas son 0 y 1 respectivamente. Por lo tanto $\mu$ está en ninguna parte continua.

Pero me gustaría una respuesta en ZFC.

Answer 1

Vamos $X=\beta\omega\setminus\omega$; $X$ es compacto Hausdorff. Por otra parte, $X$ no tiene no trivial secuencias convergentes, por lo que cada función en $X$ es secuencialmente continua. Finalmente, $w(X)=2^\omega$, así que vamos a $\mathscr{B}=\{B_\xi:\xi<2^\omega\}$ ser una base para $X$.

Deje $\{\langle\alpha_\xi,i_\xi\rangle:\xi<2^\omega\}$ enumerar $2^\omega\times 2$. Dado $\eta<2^\omega$ y distintos puntos de $x_\xi\in X$$\xi<\eta$, vamos a $x_\eta$ ser cualquier punto de $B_{\alpha_\eta}\setminus\{x_\xi:\xi<\eta\}$; esto es posible, ya que $|B_{\alpha_\eta}|=2^{\mathfrak{c}}$. Por lo tanto, podemos construir recursivamente $X_0=\{x_\xi:\xi<2^\omega\}$ de manera tal que los puntos de $x_\xi$ son distintos, y $x_\xi\in B_{\alpha_\xi}$ por cada $\xi<2^\omega$.

Ahora definir

$$f:X\to 2:x\mapsto\begin{cases} i_\xi,&\text{if }x=x_\xi\\ 0,&\text{if }x\in X\setminus X_0\;. \end{casos}$$

A continuación, $f^{-1}[\{0\}]$ $f^{-1}[\{1\}]$ son densa en $X$, lo $f$ no es continua.

Answer 2

Deje $X$ ser cualquier espacio topológico y deje $Y$ tienen el mismo conjunto subyacente como $X$, pero el "secuencial topología" (es decir, un subconjunto de a $Y$ se cierra el fib es secuencialmente cerrado en $X$). El mapa de identidad $f:X\to Y$ entonces es secuencialmente continua, pero sólo es continuo en $x\in X$ si $X$ es "localmente secuencial" a $x$, lo que significa que $x\in \overline{A}$ implica $x$ es en la secuencia de cierre de $A$. Observe que en este ejemplo es universal en el sentido de que cualquier forma secuencial mapa continuo $g:X\to Z$ factores como la composición de la $g=hf$ para un mapa continuo $h:Y\to Z$, y así si hay algún $g$ que no está ni continuo, a continuación, $f$ también debe estar en ninguna parte continua.

Queda por dar un ejemplo de un (a nivel local) compacto Hausdorff espacio que está en ninguna parte localmente secuencial. Esto no es tan difícil. Por ejemplo, si $(K_i)$ es una innumerable familia de compactos de Hausdorff espacios con más de un punto, es fácil demostrar que el producto $\prod K_i$ es nada localmente secuencial (si $(x_i)\in \prod K_i$ $y_i\neq x_i$ por cada $i$, considerar el conjunto $A$ de los puntos que se $y_i$ para todos, pero countably muchos coordenadas y $x_i$, en el resto de coordenadas).

Para otro ejemplo, vamos a $Q$ ser un countably saturada densa orden lineal y deje $X$ ser su Dedekind finalización. Desde $Q$ es countably saturadas, no hay punto de $X$ puede tener contables cofinality en ambos lados, y por lo $X$ es nada localmente secuencial (si $x$ tiene innumerables cofinality desde abajo, dicen, usted puede tomar $A=\{y:y<x\}$).