cuestión de probabilidad utilizando pasos fijos

Question

Yo inicio la vida en $0$, tengo el propósito de hacer a $1$. Puedo tomar pasos de $\dfrac{1}{2^k}, k>0$, y hacerlo con una probabilidad de $\dfrac{1}{2^k}$.

¿Cuál es el número esperado de pasos para llegar a $1$ o más allá. ¿Cuál es la probabilidad de que me va a aterrizar en $1$?

APPENDUM:

$\begin{array} {c|c} values&expected\\ \hline 222&2\\ 22N&2\\ 2N2&3\\ N22&3\\ NN2&?\\ N2N&?\\ 2NN&?\\ NNN&? \end{array}$

Deje $2$ ser el caso de que caminamos $\dfrac12$, e $N$ que no. Tenemos $8$ de los resultados, pero no sabemos el valor de $?$, así que vamos a ser $5$ para aquellos con un $2$, sobre la base de que vamos a necesitar, en promedio, $2$ más de lanza para 'garantizar'$2$, e $7$$NNN$. Por lo que el valor esperado es $\dfrac{32}{8}=4$. Esto, obviamente, necesita un cierto refinamiento.

Answer 1

Deje $X_i$ ser el de la distancia recorrida en el $i^{th}$ paso. Entonces, $E(X_i)$ = ${1 \over {2^2}} + {1 \over {4^2}} + {1 \over {8^2}} + .. = {1 \over 3} $. A la espera de la distancia recorrida en $n$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = {n \over 3}$. Se puede tomar esta pista y tratar de llegar a la respuesta?

Como la probabilidad de que se llegue exactamente $1$, vamos a hacerlo por el tradicional conteo de camino. Deje $P_i$ la probabilidad de alcanzar 1 en exactamente $i$ pasos. A continuación,$P_1=0, P_2={1 \over 4}, P_3 = {3}{1 \over 2}{1 \over 4}{1 \over 4}, P_4 = {4.3}{1 \over 2}{1 \over 4}{1 \over 8}{1 \over 8} + {1 \over 4}{1 \over 4}{1 \over 4}{1 \over 4}$. Así que un buen límite inferior sería de 0,25 pero no puedo pensar en una manera de generar $P_i$ en la forma habitual. Tal vez una formulación recursiva puede ayudar.