parámetro local de las curvas en afín n-espacio

Question

Estoy buscando una doble respuesta a esta pregunta: un matemático (por ejemplo, si la declaración es correcta o no) y filosófica (es decir, ¿por qué esperamos que esto sea cierto o no).

Deje $k$ ser un campo, que puede o no puede asumir para ser algebraicamente cerrado. Deje $A = k[x_1, \ldots, x_n]$ ser el polinomio anillo en $n$-variables y coeficientes en $k$. Considere la posibilidad de un integrado de la curva de $C$$\mathbb{A}^n$, regular en un punto de $P$ (es decir, el origen). Deje $I = (f_1, \ldots, f_r)$ ser el ideal de la definición de la curva. Por el Jacobiano criterio, sabemos que no todos los derivados de $f_i$$0$$P$.

Deje $\mathcal{O}_{C,P} = A_P/I_P$ ser el anillo local de $C$$P$: se trata de un discreto anillo de valoración y podemos elegir un parámetro local $t$$C$$P$, es decir, un generador para el máximo ideal. Por lo tanto, podemos escribir un local de la parametrización de la curva:

$$ x_i=x_i(t)= t^{c_i}g_i(t), c_i\in \mathbb{Z}, v_t(g_i(t))=0 $$ donde $v_t$ denota la valoración. El Jacobiano criterio recordó anterior nos dice que, en particular, no es una $x_i$ (es decir $x_n$) tal que $c_i=1$.

Pasando a la finalización de la $\hat{\mathcal{O}}_{C,P}$ que puede absorber la unidad plazo en el parámetro local. Esto da, en particular, que podríamos haber elegido directamente $x_n\in \mathcal{O}_{C,P}$ como parámetro y que podría haber escrito abajo

$$x_i =h_i(x_n), h_i(x_n)\in k[[x_n]]$$

Ahora la pregunta es: ¿es cierto que tenemos un isomorfismo canónico

$$\hat{\mathcal{O}}_{C,P} \cong k[[x_1, \ldots, x_n]]/(x_i-h_i(x_n))$$ (esperemos que no se debe completar de nuevo a la derecha)?

Para $n=2$, uno puede invocar Hensel del lema, en la forma que recuerda el teorema de la función implícita: vamos a $f(x,y)\in k[[x]][y]$ y supongamos que $f(0,0)=0$, $\partial f/\partial y(0,0)\neq 0$. Entonces existe $g(x)\in k[[x]]$ tal que $g(0)=0$$f(x, g(x))=0$. Si he entendido bien, esta declaración da que, después de pasar a la finalización, uno tiene $$k[[x,y]]/(f(x,y)) \cong k[[x,y]]/(y-g(x))\cong k[[x]]/(g(x)).$$

Lado de la pregunta: sabemos que el teorema de la función implícita no se sostiene en la geometría algebraica, en el sentido de que la topología de Zariski tiene demasiado abiertos grandes conjuntos de esperar que un étale mapa es un isomorfismo. Por otro lado, solemos decir que "esto es cierto étale-local". Así que me pregunto: es el enunciado correcto después de pasar a la Henselianization de el anillo de $\mathcal{O}_{C,P}$? Es esto cierto, después de pasar a la estricta Henselianization?

Answer 1

Creo que puedo intentar hacer un parcial respuesta a mi pregunta. Y la respuesta es sí, es cierto que uno tiene el reclamado isomorfismo $\hat{\mathcal{O}}_{C,P}\cong k[[x_i]]/(x_i-h_i(x_n))$, y esto puede ser demostrado, ya sea abstracta o "geométricamente".

Enfoque 1: el anillo de la derecha es claramente isomorfo a $k[[t]]$, la potencia de la serie anillo en $1$-variable. Por otro lado, el lado izquierdo es la culminación de un discreto anillo de valoración que contiene un campo (equi-caso característico de Cohen estructura teorema). Por lo que su cumplimentación es isomorfo a $k[[t]]$. Ok, esto no es muy esclarecedor, pero al menos responde a la pregunta.

Enfoque 2: más interesante. En primer lugar, desde $x_n$ es un parámetro local en $P$, uno puede escribir ecuaciones para el resto de variables, incluso antes de pasar a la realización. No necesitamos absorber la unidad (como decía en la pregunta). Esto le da un canónica de morfismos entre el anillo local $\mathcal{O}_{C,P}$ $k[x_1, \ldots, x_n]_{P}/I$ donde $k[x_1, \ldots, x_n]_{P}$ es la localización del polinomio anillo en el origen y $I$ es el ideal dadas por las ecuaciones $x_i$=alguna función de $x_n$. Esto es cierto, simplemente porque cada función regular en la curva de a $P$ debe satisfacer dichas ecuaciones.

Ahora: la no singularidad de la condición muestra que uno ha hecho (al menos) una inyección entre el espacio de la tangente a la local anillo de $k[x_1, \ldots, x_n]_{P}/I$ y el espacio de la tangente a la curva de $C$$P$, o, en otras palabras, que tenemos una étale de morfismos entre dos anillos con el mismo residuo de campo (en el ejemplo, $P$ el origen: en general, se puede hacer esto para un $k$-racional punto).

Pero, a continuación, (ver, por ejemplo, Liu Qing del libro 4.3.26) los morfismos induce un isomorfismo entre el formal de las terminaciones de los 2 locales de los anillos, que era exactamente lo que estaba pidiendo. En fin, el hecho es que el teorema de la función implícita no se cumple para la topología de Zariski (no hay manera de conseguir la declaración de los locales de los anillos), pero se mantiene formalmente después de la finalización.

Todavía estoy con la curiosidad de ver/leer mejoras y/o correcciones!