secuencia de funciones absolutamente continuas, la convergencia uniforme

Question

Deje$\{f_n\}$ sea absolutamente funciones continuas en$[0,1]$,$f_n \geq 0$ $\forall n \in \mathbb{N}$. Suponer que $\lim_{n \to \infty} \int^1_0 f_n dx = 0$. Por otra parte, supongamos que$\forall$$\epsilon > 0$$\exists$$\delta > 0$ tal que$\int_{E} |f_n'(x)|dx$ <$\epsilon$$\forall n \in \mathbb{N}$, si$m(E) &lt \delta$. Demostrar que$f_n$ converge a$0$ uniformemente en$[0,1]$.

Alguien puede ayudar a mostrar esto? Agradeciendotelo de antemano.

Answer 1

Supongamos que $f_n$ no converge uniformemente a $0$. Entonces, hay un $\epsilon>0$, de modo que para todos los $N$ hay un $n>N$ e una $x_n$, de modo que $$ f_n(x_n)>2\epsilon\etiqueta{1} $$ Encontrar$\delta>0$, de modo que $|E|&lt\delta$ implica $$ \int_E|f_n^\prime(x)|\,\mathrm{d}x<\epsilon\etiqueta{2} $$ Supongamos que $n$ es tal que $(1)$ es cierto. Vamos $$ E_n=\left\{x\in[0,1]:|x-x_n|<\dfrac{\delta}{3}\right\}\etiqueta{3} $$ Tenga en cuenta que $\dfrac\delta3\le|E_n|\le\dfrac{2\delta}{3}&lt\delta$ (desde $x_n$ podría estar cerca del límite de $[0,1]$).

A continuación, $(2)$ dice que para $x\in E_n$ hemos $$ |f_n(x)-f_n(x_n)|\le\int_{E_n}|f_n^\prime(t)|\,\mathrm{d}t<\epsilon\etiqueta{4} $$ El triángulo de la desigualdad aplicado a $(1)$ $(4)$ dice que para $x\in E_n$, $f_n(x)>\epsilon$. Por lo tanto, $$ \int_{E_n}f_n(x)\,\mathrm{d}x>\epsilon\frac{\delta}{3}\etiqueta{5} $$ Ya que hay arbitrariamente grande,$n$, de modo que $(1)$ es verdadero, $(5)$ contradice la suposición de que $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n(x)\,\mathrm{d}x=0\etiqueta{6} $$

Answer 2

Siguiendo el comentario de Mike, pasar a una subsecuencia de conseguir la convergencia en casi todas partes a 0. Por lo tanto, hay un conjunto$A$ de medida 1 con$f_n(x) \to 0$ para todos los$x \in A$. En particular$A$ es denso. Ahora la suposición acerca de los$f'$ garantiza que la familia$\{f_n\}$ es equicontinua (desde$|f(x)-f(y)| \le \int_x^y |f'(t)|\,dt$). Ahora uno puede seguir la prueba del Teorema de Arzelá-Ascoli para obtener la convergencia uniforme.