A mi papá le gusta contar de una oferta, una vez leí en un libro sobre la filosofía de las matemáticas. No recuerdo qué libro era, y nunca he probado a hacer un seguimiento hacia abajo; esto es realmente un rumor, hasta el cuarto grado, por lo que puede no ser verdadera. Pero creo que es bastante acertada. La cita describe un castillo sobre un acantilado donde, después de cada una tormenta finalmente se extingue, las arañas salen andrun alrededor frenéticamente en la reconstrucción de sus telarañas, miedo de que si no poner la suficiente rapidez el castillo se va a caer.
Lo interesante de la cita que se atribuye a un libro sobre los fundamentos lógicos de la matemática.
En primer lugar, tenga en cuenta que usted está mirando el problema desde la perspectiva de alguien que "creció" con los juegos que fueron, de alguna manera, cuidadosamente construido "unos a otros en una forma agradable." Este no fue siempre el caso. Los matemáticos no siempre fueron muy cuidadosos con sus fundaciones: y cuando comenzaron a trabajar con conjuntos infinitos/colecciones, que fueron no ser particularmente cuidadoso. Dedekind no se inicia desde el Axioma de Infinitud para la construcción de los naturales y, finalmente, llegar a los reales; y por otra parte, cuando da su construcción es precisamente para intentar responder a la pregunta de lo que es un número real!
En algunos aspectos, de la paradoja de Russell fue una tormenta que se envió a las arañas corriendo a reconstruir las telarañas. Los matemáticos no había sido el trabajo con las colecciones infinitas/sets para muy largo, al menos no como "completado infinitos". El trabajo de Dedekind en los reales, e incluso en la teoría algebraica de números con las definiciones de los ideales y de los módulos, no era sin sus críticos.
Algunos matemáticos se había convertido interesados en los temas de fundaciones; uno de esos matemático fue Hilbert, tanto a través de su trabajo en el Principio de Dirichlet (justificando la obra de Riemann), y su trabajo en Geometría (con los problemas que había llegado a ser tan evidente en los "supuestos" de Euclides). Hilbert era una figura imponente en el momento en que su interés era en sí muy interesante, por supuesto, pero no había que muchos matemáticos trabajando en los fundamentos de las matemáticas.
Yo creo que como Sebastián, que la mayoría de los que trabajan los matemáticos" no se preocupe demasiado acerca de la paradoja de Russell; como ellos no preocuparse demasiado por el hecho de que el Cálculo no era, originalmente, en el sólido fundamento lógico. Matemáticas claramente trabajado, y el ocasional antinomia o paradoja era probable que no sea una cuestión de interés o preocupación.
Por otro lado, el siglo 19, ha puesto de relieve un montón de problemas con las matemáticas. Durante este siglo todo tipo de supuestos tácitos que los matemáticos habían sido lo que había sido explotado. Resulta que las funciones pueden ser muy discontinuo, no sólo en un par de puntos aislados; pueden ser continua pero no diferenciable en todas partes; usted puede tener una curva que llena una plaza; el Principio de Dirichlet no necesita tener; hay geometrías donde no existen paralelos, y las geometrías donde hay un número infinito de parallels a una recta dada y a través de un punto fuera de ella; etc. Si bien es claro que las matemáticas trabajado, había una "sensación" de que sería una buena idea para aclarar estas cuestiones.
Así que algunas personas comenzaron a estudiar las fundaciones en concreto, y tratar de construir una base sólida (tal vez como Weierstrass había dado una base sólida para el cálculo). Frege fue uno de esos.
Y a las personas que estaban muy interesados en la lógica y fundamentos, como Frege, Russell de la paradoja de que fue un gran problema debido a que se identificó que una herramienta en particular que era muy ampliamente utilizado llevado a serios problemas. Esta herramienta fue sin restricciones de comprensión: cualquier "colección" usted puede poner el nombre era un objeto que puede ser manipulado y jugar con.
Usted podría decir, "bueno, pero Russell paradoja surge en un muy artificial contexto, que nunca iba a aparecer con un "real" de la colección de matemáticas." Pero entonces, uno podría decir que las funciones que son continuas en todas partes y diferenciable, son "muy artificial, y nunca se muestran en un "verdadero" problema matemático". Cierto: pero esto significa que ciertos resultados que se habían dado por sentado que ya no puede darse por sentado, y la necesidad de ser restringida, marcada, o justificado de nuevo, si desea reclamar que el argumento es válido.
En el contexto de la paradoja de Russell mostró una totalmente nueva cosa: no puede ser colecciones que no son conjuntos, que no son los objetos que pueden ser tratadas matemáticamente. Este es un negocio muy grande si usted incluso no tiene ese concepto, para empezar! Pensar en la búsqueda de una "función" no tiene que ser "esencialmente continua" y puede ser un lío absoluta: todo un nuevo concepto o idea; y enteramente nueva posibilidad que ha de tenerse en cuenta a la hora de pensar acerca de las funciones. Así que con Russell, una completamente nueva idea que necesita ser tomado en cuenta a la hora de pensar acerca de las colecciones y conjuntos. Todo el trabajo que se había hecho antes que asume tácitamente que sólo porque usted podría nombrar una colección que era un objeto que podría ser matemáticamente manipulados ahora era, en cierto sentido, "en el aire" (tanto como los muros del castillo están "en el aire" hasta que las arañas reconstruir sus webs, tal vez, o tal vez más).
Si nada más, la paradoja de Russell crea una categoría completamente nueva de las cosas que antes no existía: no-conjuntos. Ahora que usted piensa, "oh, piffle, yo podría haber dicho que", pero eso es porque usted creció en un mundo matemático, donde la noción de que existen tales cosas como "no-conjuntos" se da por sentado. En el momento, era exactamente lo contrario que fue tomado por sentado, y de la paradoja de Russell, esencialmente, les dice a todos que algo de lo que todos pensaban que era cierto, simplemente no es cierto. Hoy en día estamos tan acostumbrados a la idea de que parece una observación que no vale mucho, pero eso es porque hemos crecido en un mundo que ya lo sabía.
Yo diría que de la paradoja de Russell era un gran negocio y no fue gran cosa. Fue un gran negocio para cualquier persona que se ocupa de las fundaciones, ya que dijo "es necesario ir más atrás: usted necesita para determinar qué es y qué no una colección que se puede trabajar." Minó todos los de Frege intento de establecer una base para las matemáticas (que es la razón por Frege encontrado tan importante: él ciertamente había invertido mucho de sí mismo en esfuerzos que no sólo puso en duda, pero eran esencialmente demolido antes de llegar fuera de la tierra). Fue una gran cosa que es completamente infunde en nuestra visión del mundo hoy en día, cuando nos limitamos a dar por sentado que algunas cosas no son conjuntos.
Por otro lado, no tiene un gran impacto en cosas como el cálculo de variaciones, ecuaciones diferenciales, etc., porque los campos no realmente, dependen fuertemente de sus fundaciones, pero sólo en las propiedades de los objetos que están trabajando, como la mayoría de las personas no se preocupan por el Kuratowski definición de par ordenado; es bueno saber que está ahí, pero la mayoría va a tratar el par ordenado como una caja negra. Yo esperaría que la mayoría de ellos a pensar "Oh, bueno, volver a mí cuando ordena que". Tal vez como los siervos que viven en el castillo no preocuparse demasiado acerca de si las arañas son finalizado la construcción de sus webs o no. También, parecida a la forma en que después de Weierstrass introdujo la noción de $\epsilon$-$\delta$ definiciones y límites en el cálculo y, a continuación, re-establecido lo que todo el mundo estaba usando de todos modos cuando estaban utilizando el cálculo, tuvo poco impacto en términos de aplicaciones de cálculo.
Que divaga un poco, tal vez. Y yo no soy muy erudito estudioso de la historia, así que mis impresiones pueden ser de todos modos.
