Simplificando $\sin(2\tan^{-1} x)$

Question

He estado trabajando en esto durante un tiempo. La respuesta en el libro es $\frac{2x}{x^2 + 1}$. Aquí están mis cálculos:

$\sin(2\tan^{-1} x)$

Sea $\alpha = \tan^{-1}x \Rightarrow \tan \alpha = x$

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\tan\alpha\cos^2\alpha = 2x\cos^2\alpha$

No estoy seguro de cómo proceder para convertir eso en $\frac{1}{x^2 + 1}$

Answer 1

Hacer una imagen de un triángulo rectángulo también puede ser útil, ya sea para llegar rápidamente al resultado o para verificar el resultado analítico. Con $\tan \alpha = x = \frac{x}{1}$, tendríamos $x$ para la cateto opuesto a $\alpha$ y $1$ para el cateto adyacente; la hipotenusa sería entonces $\sqrt{x^2 + 1}$. Queremos evaluar $\sin 2\alpha$, que es así:

$$2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2x}{x^2 + 1}.$$

Answer 2

Pista: $\cos^2(\alpha) = \dfrac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)} $

Answer 3

Pista: ¿Cuál es el recíproco de $\cos^2 \alpha$?

Answer 4

$\sin(2\arctan(x))$

sea $y=\arctan(x)$

por lo tanto $x=\tan(y)$

$\sin(2y)=2\sin(y)\cos(y)=2\sin(\arctan(x))\cdot \cos(\arctan(x))$

$\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $\cos(\arctan(x))= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$2\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{2x}{{1+x^2}}$