¿Por qué mi profesor dice que escribir $\int \frac 1x \mathrm{d}x = \ln|x| + C$ está mal?

Question

Mi profesor dice que escribiendo esto es conveniente $$\int \frac 1x \mathrm{d}x = \ln|x| + C\tag{1}$ $ pero mal, ya que debe ser escrito como: $$ \int \frac x 1 \mathrm{d}x =\begin{cases}\ln x + C &x > 0\quad(\star)\\[0.2em] \ln(-x) + C &x < 0\end{casos} $$

Me preguntaba por qué es que el caso. Pensé que los dos eran equivalentes, como se puede ver la definición de valor absoluto. En $(\star)$ el signo de igualdad se cae porque el logaritmo no está definido en $0$, pero que sería el caso de $(1)$ así.

Answer 1

No veo nada malo con lo que escribiste ahí. Sólo me pude imaginar un profesor riguroso comentando sobre la constante... no es necesario el mismo en cada intervalo, como en: $$ \int \frac x 1 \mathrm{d}x =\begin{cases}\ln x + C_1 &x > 0\\[0.2em] \ln(-x) + C_2 &x < 0\end{casos} $$

Answer 2

La notación $\int \frac 1x dx$ ya es ambigua. Si $f$ se define en algunos abiertos conjunto de los números reales, la notación $$ \int f(x) dx = RHS$$ (sin que nace de la integración) significa que los primitivos en $f$ en su conjunto abierto de definición son las funciones parametrizadas por el lado derecho.

Si $f$ se define en una inverval, esto simplemente da $$ \int f(x)dx = F(x) + C, C \in \mathbb{R}.$$ Si $f$ se define en una unión de intervalos disjuntos, entonces usted debería ser más precisión. En mi opinión, es mejor en este caso para escribir una frase del tipo:

Las primitivas de la $\frac 1x$ $\mathbb{R}^\ast$ son las funciones definidas por $\ln(-x) + C_1$ $x < 0$ $\ln(x) + C_2$ $x > 0$ donde $C_1$ $C_2$ son arbitrarias reales constantes.