¿Hay una versión de la propiedad de Arquímedes que no presuponen los naturales?

Question

Todas las declaraciones de la Arquímedes de la propiedad con la que estoy familiarizado, fundamentalmente, utiliza ℕ, más que como un hecho totalmente ordenado semi-grupo, siendo realmente el 'modelo estándar' de los naturales. Es un ingrediente fundamental en la demostración de que los reales son (hasta el isomorfismo) la única completa totalmente ordenado de campo.

En este resultado en particular, hay dos ingredientes que no parecen ser de una manera fundamentalmente diferente naturaleza: Dedekind integridad (que es alrededor de los subconjuntos, mientras que todos los demás son los axiomas sobre los elementos), y el de Arquímedes de la propiedad, que pre-supone la existencia de los Naturales. Pero porque ser 'Arquímedes' ya tiene sentido en (ordenada) monoids, que es la que más me interesa.

Loco escenario: reemplazar el 'naturales' en el Arquímedes de la propiedad con un no-modelo estándar de la 'naturales' (llamar a este N-Arquímedes). Ahora el razonamiento para que el argumento de que todos los de Arquímedes totalmente ordenado campos son los sub-campos de ℝ fácilmente ascensores, pero ya no es la misma cosa.

En otras palabras, parece que esta posición única de ℝ es en parte debido a ℕ ya de ser horneadas en la pregunta. Y por lo tanto mi pregunta: ¿existe una adecuada generalización de la propiedad de Arquímedes, que es `correctamente abstracto"?

Answer 1

No es de extrañar que algunas versiones de la Arquímedes propiedad preocupación de los subconjuntos de la orden, en lugar de meramente elementos. La razón es que la propiedad de Arquímedes se puede probar no se pueden expresar en un primer orden de la forma.

Esto es debido a que la estructura de los reales R, como un ordenado campo, digamos, (pero se puede añadir cualquier tipo de estructura), ha de primaria extensiones no estándar de los modelos de R^* que no son de Arquímedes. Esto significa que cualquier declaración en el idioma de ordenada campos que hay de verdadero en los reales R también es cierto en los no estándar de reales. Para demostrar que tales modelos existen es una aplicación elemental del teorema de Compacidad, y también se puede construir con ellos directamente a través de la ultrapower de la construcción. También se puede controlar el cofinality de la no estándar de la orden. Por ejemplo, uno puede organizar que cada contables subconjunto de R^* es acotada. Ya que todos estos diversos modelos no estándar R^* satisfacer exactamente la misma de primer orden verdades como el estándar de reales R, pero no son de Arquímedes, se sigue que, siendo de Arquímedes no es de primer orden expresable.

Siendo de Arquímedes es, por supuesto, de segundo orden se puede expresar, y la definición habitual es de segundo orden de la definición. Como Neel menciona en los comentarios, los números naturales son identificables como el más pequeño subconjunto de la orden de campo que contiene 0 y cerrado bajo sucesor de n+1.

Si uno agrega los números naturales N como un predicado con el modelo original, por lo que uno está mirando a R como un ordenado campo con un predicado unario la celebración de los números naturales, entonces el modelo no estándar R^* se incluye una versión no estándar N^* de los números naturales. Este nuevo campo de R^*, que no es de Arquímedes, no obstante, parecen ser de Arquímedes en relación a los no estándar de números naturales N^*. Por ejemplo, para cualquier x e y de R^*, habrá un número de n en N^* tal que nx > y.

De hecho, uno puede hacer cosas increíbles a lo largo de esta línea. Supongamos que V es el conjunto de la teoría de universo, y dejar que V^* ser una versión no estándar (como un ultrapower por un nonprincipal ultrafilter en los números naturales). En el interior de V^*, la estructura R^* está pensado para ser el real de los números reales y por lo que V^* piensa R^* es de Arquímedes, aunque la espalda en V, podemos ver que se ha equivocado, porque, precisamente, V^* es el uso equivocado de conjunto de los números naturales para su conclusión. El modelo V^* simplemente no puede ver la verdad conjunto de los números naturales sentado en el interior de R^*, porque no tiene que establecer.

Más generalmente, se puede describen lo que debe significar para cualquier ordenó campo F a Arquímedes respecto a un sub-anillo R. tal vez esta idea simple es la generalización de la que usted está buscando? Es, principalmente, que asciende a la pregunta de si el sub-anillo es cofinal en el orden original.

Por lo tanto, es muy natural mirar a la posible cofinalities de las órdenes que surgen en ordenadas los campos (o el de otros tipos de estructuras que se considere). Para cualquier infinita regular el cardenal κ, uno puede encontrar una escuela primaria de la extensión de los reales R a una no estándar de la ordenada campo de R^*, donde el orden de R^* tiene un cofinal κ secuencia. Para ello, basta con realizar una serie de κ muchas extensiones, cada uno con nuevos elementos en la parte superior del modelo anterior. En κ muchos pasos, la unión de las estructuras que construyen tendrá un pedido con cofinality exactamente κ.

Si sólo se utiliza el ultrapower de construcción para la construcción de los modelos no estándar, sin embargo, hay límites en la resultante cofinality de la orden. La comprensión de estos límites es una gran parte de Sela, el trabajo profundo en PCF (= posible cofinality) de la teoría.

Answer 2

Un modelo no estándar de los productos naturales es simplemente un resumen de la estructura de compartir el primer fin de las propiedades de los números naturales. Pero no comparte todas las propiedades de los números naturales, y no es isomorfo a los números naturales. Por ejemplo, un modelo no estándar de los productos naturales pueden tener cualquier cardinalidad infinita, por lo que no bijection entre estos no estándar de productos naturales y los productos naturales que existen, por no hablar de un isomorfismo.

Si se define a los productos naturales como la subestructura obtenidos a partir de una totalmente ordenado de campo tomando el conjunto más pequeño, incluyendo la identidad aditiva $0$ y ser cerrado bajo la adición por la identidad multiplicativa $1$, se obtiene un isomorfo versión de $\mathbb{N}$ en lugar de un no estándar de la versión de los naturales, de acuerdo a una antigua resultado de Dedekind.

Answer 3

Tarski demostró que la teoría de primer orden de los reales es decidible. Pero por supuesto no es la teoría de primer orden de los naturales. Así (suponiendo que consistencia, supongo) sabemos que usted no puede construir los naturales en los reales utilizando sólo las nociones de primer orden. Pero podemos construir los números naturales si se nos permite cuantificar conjuntos de reales.