En una extensión de $(1+a+a^2+\cdots+a^n)^2$

Question

Pregunta: ¿es fácil o eficiente manera de ver o demostrar que $$ 1+2a+3a^2+\cdots+na^{n-1}+(n+1)^n+na^{n+1}+\cdots+3a^{2n-2}+2a^{2n-1}+a^{2n}\etiqueta{1} $$ es igual a $$ (1+a+a^2+\cdots+a^n)^2\etiqueta{2} $$ Tal vez este es un caso particular de una más general, bien conocido el resultado?

Contexto: Este se utiliza con $a:=e^{it}$ para obtener una expresión en términos de $\sin$ para el Fejér kernel.

Pensamientos: pensé acerca de cómo calcular el coeficiente de $c_k$$a^k$. Pero mi método no es tan obvia que podemos obtener de $(1)$ $(2)$en el parpadeo de un ojo.

$\mathbf{k=0}$ :$c_0=1$.

$\mathbf{1\leq k\leq n}$ : $c_k$ es el número entero de soluciones de $x_1+x_2=k$$0\leq x_1,x_2\leq k$, que a su vez es el número de maneras en que podemos elegir una barra de $|$ en $$ \underbrace{|\estrella|\estrella|\cdots|\estrella|}_{k\text{ stars}} $$ Por lo $c_k=k+1$.

$\mathbf{k=n+i\quad(1\leq i\leq n)}$ : $c_k$ es el número entero de soluciones a$x_1+x_k=n+i$$0\leq x_1,x_2\leq n$, que a su vez es el número de maneras en que podemos elegir una barra de $|$ en $$ \underbrace{|\estrella|\estrella|\cdots|\estrella|}_{n+i\text{ stars}} $$ diferente de la $i$-th uno de cada lado. Por lo $c_k=(n+i)+1-2i=n-i+1$.

Answer 1

(No se olvide, la Plaza finalmente se detiene, y así llegar a un rombo al final)

Answer 2

Sólo se multiplican

$$1(1+a+a^2...+a^n)$$ $$+$$ $$a(1+a+a^2...+a^n)$$ $$+$$ $$a^2(1+a+a^2...+a^n)$$ $$+.....$$ $$a^n(1+a+a^2...+a^n)$$

Esto da la suma de,

$$\begin{align}1+\ \ a+&\ \ a^2+\ \ a^3+\dots+\ \ a^n \\\ \ a+&\ \ a^2+\ \ a^3+\dots+\ \ a^n+\ \ a^{n+1} \\&\ \ a^2+\ \ a^3+\dots+\ \ a^n+\ \ a^{n+1}+\ \ a^{n+2} \\&\quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ a^3+\dots+\ \ a^n+\ \ a^{n+1}+\ \ a^{n+2}+\ \ a^{n+3}\\&\ \ \ \qquad\qquad\vdots\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\vdots \\\hline1+2a+&3a^2+4a^3+\dots+(n+1)a^n+na^{n+1}+\dots+a^{2n}\end {Alinee el} $$

Answer 3

Tratar de utilizar una fórmula muy conocida: $$\left(\sum_i x_i\right)^2=\sum_i x_i^2+2\sum_{i<j}x_ix_j\,.$ $ como se puede ver, empecé desde el extremo. Pero no importa para la prueba.

Answer 4

Sugerencia:

Utilizar división sintética dos veces después de has reescrito la expresión como $$\frac{(a^{n+1}-1)^2}{(a-1)^2}=\frac{a^{2n+2}-2a^{n+1}+1}{(a-1)^2}$ $ $$\begin{array}{*{11}{r}} &1&0&0&\dotsm&0&-2&0&0&\dots&0&0&1\\ &\downarrow&1&1&\dotsm&1&1&-1&-1&\dotsm&-1&-1&-1\\ \hline \times1\quad&1&1&1&\dotsm&1&-1&-1&-1&\dotsm&-1&-1&0\\ &\downarrow&1&2&\dotsm&n&n+1&n&n-1&\dotsm&2&1\\ \hline \times1\quad&1&2&3&\dotsm&n+1&n&n-1&n-2&\dotsm&1&0 \end{matriz} $$