Muestran que

Question

Mostrar que $\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx=\frac{\pi}8\ln 2$ con el cambio de la variable $x=\tan y$.

Sugerencia: $1+\tan x=\sqrt 2\sin(x+\pi/4)/\cos x$.

Con el cambio de variable sugerido que obtener

$$\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx=\int_0^{\pi/4}\ln(1+\tan y)\mathrm dy$$

pero no sé exactamente qué hacer o qué hacer con la identidad $1+\tan x=\sqrt 2\sin(x+\pi/4)/\cos x$.

He intentado algunos cambios de variables o integración por las piezas pero nada funciona. He intentado escribir el logaritmo como una serie pero los elementos $\tan^k x$ se complican para integrar. Alguna ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Supongo que lo que podría hacer es escribir $$\log (1 + \tan y) = \frac{1}{2} \log 2 + \log \sin (y + \tfrac{\pi}{4} ) - \log \cos y,$$ then transform the second term with $ v = \pi/4 - y $ to obtain $$\int_{y=0}^{\pi/4} \log \sin (y + \tfrac{\pi}{4}) \, dy = \int_{v=\pi/4}^0 \log \sin (\tfrac{\pi}{2} - v) \, (-dv) = \int_{v=0}^{\pi/4} \log \cos v \, dv.$$ Then this cancels with the integral of the third term, and you are left with $% $ $\frac{\pi}{8} \log 2$como.

Answer 2

He aquí una solución diferente.

Vamos

$$f=\int_0^1 \frac{\log (x+1)}{x^2+1} \, dx$$

Sustitución de la $\log$ por la definición de la integral en el formulario

$$\log (x+1)=\int_0^1 \frac{x}{x y+1} \, dy$$

nos encontramos con una doble forma integral de $f$

$$f = \int _0^1\int _0^1\frac{x}{\left(x^2+1\right) (x y+1)}dydx$$

El intercambio de ahora el orden de integración, es decir, llevar a cabo el x-integración en primer lugar, que es elemental, da

$$\int_0^1 \frac{x}{\left(x^2+1\right) (x y+1)} \, dx=\frac{\pi y}{4 y^2+4}+\frac{\log (4)}{4 y^2+4}-\frac{\log (y+1)}{y^2+1}$$

La integral sobre y ahora nos da el negativo original de la integral de f y otros dos términos que pueden ser integrados a dar

$$\int_0^1 \left(\frac{\pi y}{4 y^2+4}+\frac{\log (4)}{4 y^2+4}\right) \, dy=\frac{1}{4} \pi \log (2)$$

Por lo tanto nos encontramos con que

$$f=\frac{1}{4} \pi \log (2)-f$$

o

$$f=\frac{1}{8} \pi \log (2)$$

QED.

Answer 3

Sin utilizar la sugerencia dada utilice la sustitución $u = \frac{\pi}{4} -x$ para obtener $$I = \int_0^{\pi/4} \log (1 + \tan x) \, \mathrm{d}x = \int_0^{\pi/4} \log \left(\frac{2}{1 + \tan u}\right) \, \mathrm{d}u = \frac{\pi}{4}\ln 2 - I$$ since $1 + \tan (\pi/4 - u) = 1 + u \frac{1-\tan} {1 + \tan u} = \frac{2}{1 + \tan u} $.

Así $2I = \frac{\pi}{4}\ln 2 \iff I = \frac{\pi}{8}\ln 2$

Answer 4

$\displaystyle J=\int_0^1 \dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$

Realizar el cambio de la variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$,

$\begin{align}\displaystyle J&=\int_0^1 \dfrac{\ln\left(\tfrac{2}{1+x}\right)}{1+x^2}dx\\ &=\int_0^1 \dfrac{\ln 2}{1+x^2}dx-J\\ &=\dfrac{\pi \ln 2}{4}-J \end {Alinee el} $

Por lo tanto,

$2J=\dfrac{\pi \ln 2}{4}$

$\boxed{J=\dfrac{\pi \ln 2}{8}}$

Answer 5

OK, lo solucioné, lo siento: p.

Podemos observar que $\sin(x+\pi/4)$ es simétrica a $\cos x$ $[0,\pi/4]$, por lo que podemos escribir

$$\begin{align}\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt 2\sin(x+\pi/4)/\cos x)\mathrm dx&=\int_0^{\pi/4}\frac12\ln 2\mathrm dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\ln\sin x\mathrm dx-\int_0^{\pi/4}\ln\cos x\mathrm dx\\&=\frac{\ln2}2\int_0^{\pi/4}\mathrm dx=\frac{\pi}8\ln 2\end{align}$$