¿Qué simetría implica conservado $L^2$?

Question

Según Teorema de Noether, si $[L,H]=0$ el sistema tiene invariancia rotacional. ¿$[L^2,H]=0$ Implica también cierta simetría para el sistema?

Answer 1

Por el derivado de la regla $$ [H, L ^ 2] = [H, L] L + L [H, L] $$ por lo que está observando nuevo en $[H,L^2]$ que no se encuentra en $[H,L]$.

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Edit: en realidad mi respuesta no es correcta. Tomar el $H=L_x$. Entonces $[L^2,L_x]=0$ $[L,L_x]\ne 0$.

Entonces: si $[L,H]=0$ $[L^2,H]=0$ implica nada más, pero podría ser que $[L^2,H]=0$ sin $[L,H]=0$.

Answer 2

La simetría, para una partícula descrita por posición $x_k$y el impulso $p_j$ es el que define, para el $k=1,2,3$ % $ $$x_k \to x_k(a) := U_a x_k U_a^{-1}$

$$p_k \to p_k(a) := U_a p_k U_a^{-1}$ $ donde $U_a := e^{iaL^2}$. La solución formal es $$\vec{x}(a) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^na^n}{n!}[L^2[L^2\cdots (n \:times)\cdots [L^2,\vec{x}]\cdots]]$ y $$\vec{p}(a) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^na^n}{n!}[L^2[L^2\cdots (n \:times)\cdots [L^2,\vec{p}]\cdots]]$ $ donde sabemos que (si mis cálculos son correctos) $$[L^2, \vec{x}] = 2i \vec{x}\wedge \vec{L} +2 \vec{x}$ $ y %#% $ de #% no estoy seguro de que es posible sumar estas series en cerrado de fórmulas.