Mostrar el límite de la integral

Question

Cómo mostrar:

$$I:=\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{2\epsilon} \frac{1}{\ln{(1+x)}}dx=\ln{2}$$

Usando el teorema del valor medio para integrales puedo mostrar que $\frac{1}{2 }\leq I \leq 1$, pero no soy capaz de mostrar que $I=\ln{2}$. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Considerar la función $$f(x) = \frac{1}{\log(1+x)}-\frac{1}{x}, f(0)=\frac{1}{2}$$ then $f $ is continuous at $0$. Let $$F(x) =\int_{0}^{x}f(t)\,dt,x\geq 0$$ Then we can see by continuity of $F $ that $f # (2\epsilon)-F (\epsilon) \to 0$ as $\epsilon\to 0^{+}$. Your job is now complete and desired limit is $\log 2$ because $% $ $\int_{\epsilon} ^{2\epsilon}\frac{dt}{t}=\log 2$

Answer 2

$0<x<1$, Podemos usar un clásico "bracketting":

$$0<x-\dfrac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x \ \iff \ $$

$$\tag{1}\dfrac{1}{x}< \dfrac{1}{\ln(1+x)}< \dfrac{1}{x-\dfrac{x^2}{2}}$$

Nota: la última fracción se puede escribir: $$\dfrac{1}{x-\dfrac{x^2}{2}}=\dfrac{2}{2x-x^2}=\dfrac{2}{x(2-x)}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}.$ $

Por la integración de (1) entre $\varepsilon$y $2 \varepsilon$, mediante la propiedad ascendente de la integral:

$$\underbrace{\ln(x)|_{\varepsilon}^{2 \varepsilon}}_{\to \ln(2)}<I<\underbrace{\ln(x)|_{\varepsilon}^{2 \varepsilon}}_{\to \ln(2)}-\underbrace{\ln(2-x)|_{\varepsilon}^{2 \varepsilon}}_{\to 0}$$

donde $I$ es el de integral, estableciendo el resultado.

Answer 3

Sugerencia: Si está permitido usar ese pequeño $x$ sostiene

$ \log(1+x) = x + O(x^2), $$

trate de proceder de esa manera.

Answer 4

Como la función $f(x)=\ln(1+x)$ es cóncava y tiene tangente $y=x$ en el origen, si $x>0$, tenemos $$(1-\varepsilon)x \le \ln(1+x)\le x\quad\text{for any }\varepsilon \; \text{such that}\;0<\varepsilon<1,$ deducimos que $$\frac1x\le\frac1{\ln(1+x)}\le \frac 1{1-\varepsilon}\frac1x,$ $ donde $ % $ $$\int_{\varepsilon}^{2\varepsilon}\frac{\mathrm dx}{x}=\ln 2\le\int_{\varepsilon}^{2\varepsilon}\frac{\mathrm dx}{\ln(1+x)}\le \int_{\varepsilon}^{2\varepsilon}\frac{\mathrm dx}{(1-\varepsilon)x}=\frac{\ln 2}{1-\varepsilon} $aplicar el principio de compresión cuando $\varepsilon\to 0\;$ para obtener el % de límite $\ln 2$.

Answer 5

Hacer la sustitución $x=\epsilon t$, para dar $$ I=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_1^2 \frac\epsilon{\ln(1+\epsilon t)}\ dt = \int_1^2 \lim_{\epsilon\to0^+}\frac\epsilon{\ln(1+\epsilon t)}\ dt $$ Nota que se mueve el límite interior de la integral puede fallar en algunas situaciones (incluso con la constante límites)... afortunadamente, podemos hacerlo si la función converge uniformemente en el intervalo, y hace esta función.

Evaluar el límite, obtenemos $$ I = \int_1^2 \frac1t\ dt = \big[\ln t\big]_1^2= \ln 2-\ln 1 = \ln 2 $$