Espacios métricos conectados con bolas abiertas disjuntas

Question

Dejemos que $X$ sea el $S^1$ o un subconjunto conexo del mismo, dotado de la métrica estándar. Entonces todo conjunto abierto $U\subseteq X$ es una unión disjunta de arcos abiertos, por tanto una unión disjunta de bolas abiertas. ¿Existen otros espacios métricos con esta propiedad? Es decir: ¿Puede dar un ejemplo de un espacio métrico conexo en el que cada conjunto abierto sea la unión de bolas abiertas disjuntas y que no sea homeomorfo a un subespacio de $S^1$ ?

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Editar: algunas observaciones, aunque la mayoría de ellas dejan más preguntas que respuestas:

Si $a,b\in X$ , $a\ne b$ entonces los conjuntos cerrados $\partial B(a,r)$ , $0<r<d(a,b)$ y $\{x\in X\mid d(a,x)=\lambda d(b,x)\}$ para $\lambda>0$ no son vacíos porque $X$ está conectado. ¿Se puede decir algo sobre $r\to0$ o $\lambda\to \infty$ ? Por ejemplo, ¿se deduce que $X$ ¿está conectado a la ruta?

He escrito "homeomorfo a un subespacio de $S^1$ " sobre todo como abreviatura de "homeomorfo al punto, intervalo acotado abierto/medio abierto/cerrado, o $S^1$ -como". Sin embargo, un mismo espacio toppológico puede tener la propiedad de bola disjunta con una métrica y no tenerla con otra (acotada). Por ejemplo, en $S^1\subset\mathbb R^2$ con $d\bigl((x,y), (u,v)\bigr) =\sqrt{4(x-u)^2+(y-v)^2}$ el conjunto abierto conectado dado por $y>0$ no es una pelota: El único candidato es $B\left((0,1),\sqrt5\right)$ pero contiene $(0,-1)$ .

¿Se deduce en absoluto que $d$ debe estar acotado? $X\setminus\{x\}=\bigcup_{i\in I} B(x_i,r_i)$ para algún conjunto de índices $I$ , $x_i\in X$ , $r_i>0$ . Para $\epsilon>0$ la pelota $B(x,\epsilon)$ debe intersecar cada $B(x_i,r_i)$ porque $X$ está conectada, por lo que $d(x,x_i)=r_i$ para todos $i\in I$ y $d(x,y)\le2\sup\{r_i\mid i\in I\}$ . Por lo tanto, si $X\setminus\{x\}$ sólo tiene un número finito de componentes para algún $x$ entonces $d$ está acotado. Pero, ¿podría $X\setminus\{x\}$ tienen un número infinito de componentes para todo $x$ ? Resuelto tras un comentario de celtschk : $X$ es una bola $B(x_0,r)$ Por lo tanto $d(x,y)\le d(x,x_0)+d(x_0,y)<2r$ para $x,y\in X$ .

Supongamos un punto $x_0$ parece una rama finita, es decir, hay $n\in\mathbb N$ , $n\ge3$ y un mapa continuo $h:\{1,\ldots,n\}\times[0,\epsilon)\to B(x_0,\epsilon)$ tal que $d(x_0,h(i,t))=t$ y $h|_{\{1,\ldots,n\}\times(0,\epsilon)}\to B(x_0,\epsilon)\setminus\{x_0\}$ es un homeomorfismo. Dado $\mathbf r=(r_1, \ldots, r_n)$ con $0<r_i<\epsilon$ el conjunto $U_{\mathbf r}=h\left(\bigcup_{i=1}^n\{i\}\times[0,r_i) \right)$ es abierta y conectada, por lo que una única bola abierta $B(\hat x,r)$ . Dejemos que $x_i=h(i,r_i)$ . Por continuidad de $h$ concluimos que $d(\hat x,x_i)=r$ y el $r_i$ se puede recuperar de $\hat x$ y $r$ como $r_i=\inf\{t\mid d(\hat x, h(i,t))\ge r\}=\sup\{t\mid d(\hat x,h(i,t))<r\}$ . Se comprueba que este $\phi_i\colon(\hat x, r)\mapsto r_i$ es continua cuando se define. Esto da un mapa contiunuo y suryente $(i,s,t)\mapsto (\phi_i(h(i,s),t))_i$ de un subconjunto de las dos dimensiones $\{1,\ldots,n\}\times (0,\epsilon)^2$ a la $n$ -dimensional $(0,\epsilon)^n$ . A menos que se trate de un monstruo que llena el espacio (¿puede serlo?), concluimos que $X$ no puede tener puntos de ramificación. (Esto es feo, ¿se puede hacer más bonito? ¿O se puede definir el punto de ramificación de forma más amigable?)

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Editar: Mientras tanto, estoy seguro de que todos los conectados espacio de longitud con la propiedad de bola abierta disjunta es uno de los espacios conocidos (es decir, homeomorfo a un subespacio conectado de $S^1$ ). Entonces, ¿qué tan lejos está un espacio métrico conectado de ser un espacio de longitud? ¿Pueden trasladarse las ideas o dan pistas para los contraejemplos?

En lo que sigue, dejemos $(X,d)$ sea un espacio de longitudes conectadas con la propiedad de bola abierta disjunta. Podemos definir el rama de actividad (¿o hay un nombre estándar para esto?) $\beta(x)$ para $x\in X$ como el número (posiblemente infinito) de componentes conectados de $X\setminus\{x\}$ .

Lema 1: Para $x\in X$ tenemos $\beta(x)\le2$ .

Prueba: Supongamos que $\beta(x)\ge 3$ es decir $X\setminus \{x\}$ tiene componentes conectados $U_i$ , $i\in I$ y wlog. $\{1,2,3\}\subseteq I$ . Para $i\in\{1,2,3\}$ seleccione un punto $x_i\in U_i$ y que $\rho=\min\{d(x,x_1),d(x,x_2),d(x,x_3)\}$ . Entonces para $r<\rho$ y $i\in\{1,2,3\}$ tenemos que $U_i\cap B(x,r)$ está conectada porque un camino (aproximadamente) geodésico a $x$ no puede salir del componente conectado y permanece dentro de la bola. Además, podemos encontrar un punto $\in U_i$ a distancia $r$ de $x$ . El conjunto $$U:=(U_1 \cap B(x,\rho))\cup(U_2 \cap B(x,\frac12\rho))\cup B(x,\frac13\rho)\cup\bigcup_{i\in I\setminus\{1,2,3\}}U_i$$ es abierta y conectada, por lo que $U=B(y,R)$ para algunos $y\in X$ , $R>0$ . Como las trayectorias entre puntos en diferentes $U_i$ debe pasar por $x$ concluimos que $R=d(x,y)+\rho$ si $y\notin U_1$ , $R=d(x,y)+\frac12\rho$ si $y\notin U_2$ y $R=d(x,y)+\frac13\rho$ si $y\notin U_3$ . Desde $y$ está como máximo en uno de $U_1, U_2, U_3$ llegamos a una contradicción. $_\blacksquare$

Creo que lo siguiente debería ser posible de probar:

$Lemma 2:$ Si $a,b,c$ son tres puntos distintos $\in X$ entonces $X\setminus\{a,b,c\}$ no está conectado.

Prueba: ???

Como todavía no estoy seguro de la demostración del lema 2, el resto se queda en la fase de palabrería:

Supongamos que existe $x\in X$ con $\beta(x)=0$ . Entonces $X$ es sólo un punto y ya está.

Supongamos que existe $x\in X$ con $\beta(x)=2$ . Escriba $X\setminus\{x\}=U_1\cup U_2$ y definitivamente $f:X\to\mathbb R$ por $$f(y)= \begin{cases}d(x,y)&y\in U_1\\-d(x,y)& y\in U_2\end{cases}$$ Afirmo que $f$ es inyectiva y, de hecho, debería ser posible demostrarlo con el lema 2 o algún resultado similar.

Entonces nos queda el caso de que $\beta(x)=1$ para todos $x$ . Entonces, para cualquier punto de este tipo $X\setminus\{x\}$ debería tener un punto $y$ con $\beta(y)=2$ por lo que $X\setminus\{x\}$ "es" un intervalo y concluimos que $x$ es uno de sus puntos finales (o posiblemente "es ambos" puntos finales, haciendo un $S^1$ ). O si no, al menos $X\setminus\{x,y\}$ debe tener un punto $z$ con $\beta(z)=2$ (por el lema 2) y por tanto $X\setminus\{x,y\}$ "es" un intervalo y $x,y$ son sus puntos finales.

Answer 1

He tenido algunos pensamientos nuevos sobre esto que son demasiado largos para un comentario. Tengo un esbozo de prueba si el espacio está conectado por un camino, pero sólo funcionaría si se puede demostrar que el espacio no puede contienen un gráfico en forma de Y.

Utilizaré el hecho de que cualquier mapa inyectivo del intervalo en un espacio métrico es una incrustación.

Suponiendo que el espacio está conectado por un camino, elija $x,y$ en el espacio, y que $\alpha$ sea un arco que los conecte. Sea $\beta$ sea un camino (no necesariamente un arco) desde $x$ a $y$ que sólo cruza una vez cada punto final y que no se encuentra totalmente en la imagen de $\alpha$ (si es que existe ese camino). Afirmo que $\beta$ y $\alpha$ se cruzan sólo en sus puntos finales $x$ y $y$ . En caso contrario, existe un punto $p$ en las imágenes de ambos $\alpha$ y $\beta$ de tal manera que hay un $\epsilon>0$ con $\beta((\beta^{-1}(p),\beta^{-1}(p)+\epsilon)$ es disjunta de $\alpha$ . Usted elige $p$ para ser el primer punto después de $x$ donde $\beta$ deja $\alpha$ .

Dejemos que $\gamma=\beta([\beta^{-1}(p),\beta^{-1}(p)+\frac{1}{2}\epsilon]$ . Entonces $\gamma\cup\alpha$ es un espacio incrustado con un punto de bifurcación, lo que no es posible como se ha comentado anteriormente.

Por lo tanto, dos caminos cualesquiera desde $x$ a $y$ cada uno de los cuales interseca los puntos finales una sola vez, deben ser disjuntos excepto en sus puntos finales. Podemos elegir $\beta$ para que sea un arco al encogerlo; seguirá siendo disjunto de $A$ . No puede haber tres arcos de este tipo, ya que obtendríamos otro punto de bifurcación. Por lo tanto, si hay dos puntos en los que existen dos arcos de este tipo, los arcos deben ser suryentes y tenemos una circunferencia.

Si sólo hay un camino entre cada par de puntos, entonces el espacio es la unión de intervalos cerrados pegados a lo largo de intervalos cerrados, y es un intervalo.

Editar : Esto es sólo un boceto de prueba; puede que haya que pulir algunos detalles.

Answer 2

No sé qué ocurre para los espacios métricos generales, aquí hay una prueba que cubre el caso de los espacios métricos de longitud.

Definición. Llama a un espacio métrico $X=(X,d)$ un espacio B si todo subconjunto abierto de $X$ es igual a la unión disjunta de algunas bolas métricas abiertas en $X$ .

Nótese que cada espacio métrico de longitud $(X,d)$ satisface las dos propiedades siguientes:

a. $X$ está localmente conectada por un camino. (Dado que las bolas abiertas en $X$ están conectadas por un camino).

b. Toda bola métrica cerrada $\bar B(a,r)=\{x\in X: d(a,x)\le r\}$ es igual al cierre de la bola abierta correspondiente $B(a,r)=\{x\in X: d(a,x)< r\}$ .

Utilizaré la notación $S(a,r)$ para la esfera métrica $S(a,r)=\{x\in X: d(a,x)=r\}$ .

Teorema 1. Supongamos que $X$ es un $B$ -que consta de más de un punto y que cumple con (a) y (b). Entonces $X$ es una variedad topológica unidimensional (posiblemente con límites). En otras palabras, $X$ es homeomorfo a un subconjunto conexo de $S^1$ .

Prueba. Basta con considerar el caso cuando $X$ está conectado. Como $X$ es un espacio conectado por caminos de Hausdorff, también está conectado por arcos, es decir, dos puntos cualesquiera de $X$ pertenecen a un arco es decir, un subconjunto homeomorfo a un intervalo cerrado, véase

S. Willard, General Topology, Addison-Wesley 1970. Teorema 31.2. (Compárese la discusión aquí .)

Dado un arco $\alpha\subset X$ que es la imagen de un homeomorfismo $f: [0,1]\to \alpha$ , dejemos que $\alpha^\circ$ denotan $f((0,1))$ , el correspondiente arco abierto .

Desde $X$ es localmente conectado, cada $B(a,r)$ contiene un único subconjunto conexo abierto que contiene $a$ denotaré este subconjunto $B_c(a,r)$ .

Lema 1. Cada arco abierto $\alpha^\circ$ es un subconjunto abierto de $X$ .

Prueba. Para demostrarlo, considere para cada $r>0$ el abierto $r$ -Vecindario $U_r(\alpha)$ en $X$ : $$U(\alpha,r)=\bigcup_{a\in \alpha} B(a,r).$$ Esta vecindad contendrá una subvecindad conectada abierta de $\alpha$ : $$U_c(\alpha,r)= \bigcup_{a\in \alpha} B_c(a,r).$$ Desde $X$ es un espacio B, hay puntos $a_r\in X$ y los radios $R=R(r)$ tal que $$U_c(\alpha,r)= B(a_r, R(r)).$$ Para cada $r$ existe $x_r\in \alpha$ tal que $d(x_r, a_r)<r$ . Por la compacidad de $\alpha$ hay una secuencia $r_i\to 0+$ tal que $$x_{r_i}\to a\in \alpha$$ y $R(r_i)\to R(0)$ . Desde $\alpha$ no es un singleton, $R(0) >0$ .

Claramente, $a_{r_i}\to a$ , $$\bigcap_{r_i} U_c(\alpha,r)= \alpha$$ y $$\alpha= \bar{B}(a, R(0)).$$

De ello se deduce que $\alpha\cap B(a,R(0))$ es un subconjunto abierto de $X$ . De ello se desprende que el subconjunto de $X$ donde $X$ es una variedad unidimensional es densa (y claramente abierta) en $X$ . Hasta ahora, no hemos utilizado la propiedad (b).

Reclamación. Afirmo que $\alpha^\circ \cap S(c, R(0))=\emptyset$ .

Prueba. Si $\alpha^\circ \cap S(a, R(0))\ne \emptyset$ el arco $\alpha$ contiene un subarco $\beta$ puntos de conexión de $S(a, R(0))$ y que no contenga el centro $a$ . Sea $b\in \beta$ sea un punto con una distancia mínima a $a$ por nuestra suposición de que $a\notin \beta$ , $\rho=d(b,a) > 0$ . Desde $\alpha\cap B(a, R(0))$ es una variedad unidimensional de $B(a, R(0))$ el punto $b$ no puede ser el límite de ninguna secuencia $b_i\in B(a, R(0))$ tal que $(d(a,b_i))_{i\in {\mathbb N}}$ converge a $d(a,b)$ desde la izquierda. Esto contradice la propiedad (b) (el punto $b\in S(a,\rho)$ no pertenece al cierre de $B(a, \rho)$ .) qed

La afirmación implica que $\alpha^\circ = \alpha \cap B(a, R(0))$ es decir $\alpha^\circ$ está abierto en $X$ . Con esto concluye la demostración del lema 1. qed

El lema 1 implica que $X$ es una variedad unidimensional cerca de cada punto contenido en un arco abierto. Supongamos, por tanto, que $x\in X$ es un punto que no pertenece a ningún arco abierto. Como $X$ no es un singleton, $x$ es el punto final de algún arco no degenerado $\alpha\subset X$ puntos de conexión $x$ y $y$ en $X$ .

Lema 2. Afirmo que $\alpha-\{y\}$ es una vecindad de $x$ .

Prueba. Si no, hay una secuencia $x_n\to x$ , $x_n\notin \alpha$ . Desde $X$ está localmente conectada por arcos, existen arcos $\beta_n$ conectando $x_n$ a $x$ y disjuntos de $y$ para todo lo que sea suficientemente grande $n\ge n_0$ . El lema 1 implica que $\beta_n\cap \alpha= \{x\}$ para todos $n\ge n_0$ . Por lo tanto, la concatenación $\gamma_n$ de $\beta_n$ y $\alpha$ es un arco en $X$ (para $n\ge n_0$ ) tal que $x\in \gamma_n^\circ$ . Una contradicción. qed

Combinando los Lemmata 1 y 2 vemos que $X$ es una variedad unidimensional (posiblemente con límite). qed

Answer 3

$\mathbb{R}$ con topología trivial tiene la propiedad de bola abierta pero no es homeomorfa a ningún subconjunto de $S^1$

Así que supongo que quieres un colector con propiedad de bola abierta.

Afirmación: cualquier colector de este tipo con la propiedad de bola abierta tendrá dimensión topológica 1.