Desigualdad complicada con 3 variables

Question

Que $x, y$ $z$ ser tres números reales cumplen las condiciones siguientes:

$$0 < x \leq y \leq z$$

Y

$$xy + yz + zx = 3$$

Probar que el valor máximo de $(x y^3 z^2)$ $2.$

Probé usando la desigualdad de AM-GM ponderada, pero sin éxito como las potencias 1, 2 y 3 están dando me un tiempo duro. ¿Cómo debo proceder? Gracias de antemano.

Answer 1

Que $x=\frac{a}{2\sqrt2}$, $y=\sqrt2b$ y $z=\sqrt2c$.

Por lo tanto, $c\geq b$ y de AM-GM: %#% $ #% que da $$6=4bc+ab+ac\geq6\sqrt[6]{(bc)^4(ab)(ac)}=6\sqrt[6]{a^2b^5c^5}\geq6\sqrt{a^2b^6c^4},$ $ la igualdad ocurre $$1\geq ab^3c^2=\frac{1}{2}xy^3z^2.$ y $x=\frac{1}{2\sqrt2}$

y ya terminamos!