¡Límite de nth raíz de n!

Question

Me pide para determinar si una serie converge o no: $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} (2^n)n!/(n^n)$

¿Así que estoy usando la prueba de nth raíz y vino para arriba con $\lim_{n \to {\infty}}(2/n)*(\sqrt[n]{n!})$ saber que el límite de $2/n$ va a $0$ cuando $n$ va a infinito, pero lo que sobre el $(\sqrt[n]{n!})$?

Answer 1

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en herramientas elementales sólo. Para ello, procedemos.

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \log\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\right)&=\frac1n\log(n!)-\log(n)\\\\ &=\frac1n\sum_{k=1}^n\log(k)-\log(n)\\\\ &=\underbrace{\frac1n\sum_{k=1}^n\log(k/n)}_{\text{Riemann Sum for}\,\,\int_0^1 \log(x)\,dx=-1}\\\\ \end {Alinee el} $$

Por lo tanto, tenemos

$$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2\sqrt[n]{n!}}{n}\right)=2e^{-1}$$

Y ya terminamos!

Herramientas que se utilizan. Simple aritmética y sumas de Riemann.

Answer 2

Desde el OP está tomando Cálculo III, tal vez el test del cociente de cálculo II es un modo más adecuado.

Deje $a_n = (2^n)n!/n^n$.

\begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{(2^{n+1})(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{(2^n)n!/n^n} \\ &= 2(n+1) \frac{n^n}{(n+1)^n} \frac1{n+1} \\ &= 2 \frac1{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ \end{align}

$$L = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} 2 \frac1{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = \frac2e < 1 $$

Así que la serie converge.

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Método alternativo por Stirling aproximación

Escribo esto por diversión y para demostrar el poder de esta fórmula para $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^n n!}{n^n}$

El uso de la raíz de la prueba en la $a_n = (2^n)n!/n^n$.

\begin{align} a_n =& \frac{2^n n!}{n^n} \\ \sim& \frac{2^n\sqrt{2\pi n} e^{-n} n^n}{n^n} \\ =& \sqrt{2\pi} \cdot \frac{2^n}{e^n} \cdot \sqrt{n} \end{align}

El límite de $1 \le \sqrt{n}^{1/n} \le n^{1/n} \to 1$ $n \to +\infty$ nos permite recuperar la relación $2/e$ en la sección anterior.

$$L = \lim\limits_{n\to+\infty} a_n^{1/n} = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac2e \sqrt{n}^{1/n} = \frac2e$$

Answer 3

Tenga en cuenta que no tenemos necesidad de evaluar realmente el límite, sólo tenemos que encontrar una cota superior.

Considere la posibilidad de que, por $n>m$, $$ \frac{n!}{m.}\leq n^{n-m} $$ Como tal, si dejamos $n=6k-a$ donde $0\leq a\leq5$, podemos observar que la $$ n!\leq (6k)!\leq \prod_{i=1}^6 (ik)^k=(720 kb^6)^k<\a la izquierda (\frac{20}{6^4}\right)^k(6k)^{6k} $$ Por lo tanto, $$ \sqrt[n]{n!}<\left(\frac{20}{6^4}\right)^{(n+a)/6n}(n+a)^{1+a/n} $$ y así $$ \frac{2\sqrt[n]{n!}}{n}<2\left(\frac{20}{6^4}\right)^{1/6}\left(\frac{20}{6^4}\right)^{a/6n}(1+a/n)(n+a)^{a/n} $$ Ahora, como $a$ no puede ser mayor que 5, se puede tomar fácilmente el límite de cada plazo como $n\to\infty$, para dar $$ \lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt[n]{n!}}{n}<2\left(\frac{20}{6^4}\right)^{1/6}\approx 0.997932 $$ Por lo tanto, como el límite es menor que 1, converge.

Tenga en cuenta que el $\lim$ en la línea final no es estrictamente correcto de la notación, como no hemos probado que el límite existe. Dicho esto, se capta la intención, que para suficientemente grande $n$, la expresión será menos de $0.997932$.