Una desigualdad básica: $a-b\leq |a|+|b|$

Question

Tenemos la siguiente desigualdad:

$$a-b\leq |a|+|b|$$

He considerado $4$ casos:

• $a\leq0,b\leq0$

• $a\leq0,b>0$

• $a>0,b\leq0$

• $a>0,b>0$

y que esta desigualdad es verdadera. Sin embargo quiero hacer seguro de.

Answer 1

Use la desigualdad de triángulo: $$ a - \leq \vert b-\vert \leq \vert b un \vert + \vert b \vert. $$

Answer 2

$$ a - b = a + (-b) \leq | a | + (-b) \leq | a | + |-b| = |a| + |b| $$

Anterior, se utilizó el % de desigualdad $x \leq |x|$dos veces: primero con $x=a$ y luego con $x=-b$.

Answer 3

Correcto. Observe que $a\leq |a|$ y que $(-b)\leq |(-b)|=|b|.$ adición, tenemos $a-b=a+(-b)\leq |a|+|(-b)|=|a|+|b|.$